透过现象看本质(二)-数据拟合
2014-02-11 22:13
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假设对观测数据进行拟合，得到的拟合曲线为
。将观测数据
代入
，得到
，其和
的偏差定义为
（1）
评价
拟合结果好坏的函数称为指标函数
（2）
拟合函数
在观测数据上总的偏差越小，说明拟合的越好，因此
可以具体写成
（3）
其中
，
是加权系数，表示每个观测数据的重要程度。一般情况下，我们认为每个观测数据是等重要的。因此，上式可以简化为
（4）
其中偏差可以定义为
（5）
当p=0时，
当p=1时，
当p=2时，
。。。
评价函数
一般写成p范数的p次方
 = \sum\limits_{i = 1}^n {{d_i}} = \sum\limits_{i = 1}^n {g\left( {{y_i} - \hat y\left( {{x_i}} \right)} \right)} = \sum\limits_{i = 1}^n {{{\left| {{y_i} - \hat y\left( {{x_i}} \right)} \right|}_p}} = \left\| {y - \hat y\left( x \right)} \right\|_p^p%)
（6）
求最优拟合函数
的过程是在
和
构成的空间上寻优的过程
（7）
对应的解是
（8）
指标函数是一个以函数为自变量的函数。至此，这个问题是变分问题（至于说如何使用变分来求解，暂且压一压，以后再细说）。
假设拟合函数为
。
，
，
。
如何求出
呢？，从p=2开始推导。
评价函数对
求导（因为在
的取值范围是连续的，且向量的
是一个凸函数，至少是不凹的），
（9）
（10）
当
时，
，因此极值点为极小值点。
等价于
（11）
上式两边进行转置，得
（12）
X为列满秩矩阵，
的逆矩阵存在。因此
（13）
（14）
当p=0时，
。该式表示，拟合直线穿过观测数据点越多越好。
当p=1时，
。评价函数导数不连续，求解不像二范数求解那么方便，因此很少使用。
下面用一段代码，简单说明一下p范数对拟合结果的影响
[plain]
view plaincopyprint?
<SPAN style="FONT-SIZE: 14px">lens=50;
b=50;
x=1:lens;
y=2*x+b*randn(1,lens);
x=[1 2 3 4 5];
y=[1 2 2 3 5];
for k=1:200
for b=1:200
yk=(k-100)/10*x+(b-100)/10;
d=y-yk;
sign=ones(1,lens);
sign(find(abs(d)<0.5))=0;
err0(k,b)=sum(sign);
err1(k,b)=sum(abs(d));
err2(k,b)=sum(d.*d);
end
end
figure(1)
mesh(err0)
figure(2)
mesh(err1)
figure(3)
mesh(err2)
figure(4)
plot(x,y,'ro')
hold on
[a1 a2]=min(err0);
[b1 b2]=min(a1);
ka0=(a2(b2)-100)/10;
ba0=(b2-100)/10;
yk0=ka0*x+ba0;
plot(x,yk0,'md')
[a1 a2]=min(err1);
[b1 b2]=min(a1);
ka1=(a2(b2)-100)/10;
ba1=(b2-100)/10;
yk1=ka1*x+ba1;
plot(x,yk1,'g+')
[a1 a2]=min(err2);
[b1 b2]=min(a1);
ka2=(a2(b2)-100)/10;
ba2=(b2-100)/10;
yk2=ka2*x+ba2;
plot(x,yk2,'bs')
e10=sum(abs(y-yk0))
e11=sum(abs(y-yk1))
e12=sum(abs(y-yk2))
e20=sum((y-yk0).*(y-yk0))
e21=sum((y-yk1).*(y-yk1))
e22=sum((y-yk2).*(y-yk2))
legend('data','L0','L1','L2')
hold off</SPAN>
这段代码首先生成一组数据（x，y），然后分别使用0、1和2范数进行拟合求解。搜索范围k=[-10,10]，b=[-10,10]。在搜索空间中找到拟合误差最小的最小p乘解。
从评价函数的2范数出发，
的解的形式中包含着复杂的矩阵运算关系，这其中应该蕴含着什么。让我们首先从一个简单的例子入手吧。
有a，b两个向量，b在a上的投影p可以写成投影长度x和a方向上单位向量的乘积
（15）
往a方向上做投影的投影变换矩阵为
（16）
（17）
向量b到向量a的距离等于e=b-p的模，垂直方向上的投影矩阵为
（18）
（19）
在数据拟合中，数据的个数远远多于未知数（待求解参数）的个数，因此这个方程不能得到精确解。我们需要找到距离Y最近的一个空间，将Y投影到该空间中。X的列向量构成的空间叫做列空间。该空间内的任意向量Xv都是X的列向量的线性组合得到，v就是组合系数。Y的近似解
形如
（20）
近似解
与Y之间的向量为
（21）
该向量垂直于X的列空间中的任意向量Xv，有
（22）
（23）
因为v为任意向量，因此
（24）
（20）式两边同时左乘矩阵X的转置，将（24）式代入得到
（25）
解出
（26）
近似解
（27）
Y在投影变换矩阵
的作用下，投影到X的列空间上，投影后得到的向量为
，误差向量
，误差的大小为
。
投影矩阵从另外一个角度解释了最小二乘法，同时也是最小p（p>2）乘法的解释。我们发现，最小二乘法给出的解是近似解。误差的来源方方面面，比如系统偏差，观测误差，记录误差等等。这些因素之间是一个什么样的关系，线性的还是非线性的，一时半会儿说不清楚，我们偷个懒，将拟合问题重新形式化如下
（28）
我们要求的问题等价于
（29）
搞工程的搞来搞去不经意的发现，当随机不可知的因素很多，独立随机试验的次数很大时，由这些随机因素造成的随机误差服从高斯分布。学术界的人按耐不住了，不能让搞工程的压下去，整出了一个中心极限定理，各种分布都会渐进服从高斯分布。
我们俗气一把，还是从高斯分布入手，假设误差 服从零均值高斯分布，即
。为什么是零均值，因为我们不想估计出个没用的有偏的分布出来。这种零均值误差还有个很带感的名字，白噪声。对其进行傅里叶变换后，各个频率都有响应，也就是说这种噪声是由不同频率的噪声合成的。我们常见的由各个频率合成的事物就是白色的光。所以，按照国际惯例，这种噪声叫做白噪声。
另外一个假设是独立同分布，也就是每次实验都是独立的，但是服从的分布相同。
（30）
（31）
令上式对
的导数为零，又见
。也就是说，最小二乘法的概率解释是，拟合误差服从零均值高斯分布，拟合直线通过均值点。
假设噪声服从形如
，那么其解对应的就是最小p范数解。这种分布貌似就是指数族分布，当p=1时叫做拉普拉斯分布，p=2时就是大名鼎鼎的高斯分布。
通过上面的分析，我们可以察觉到，噪声的模型影响了最终的拟合结果。如果噪声是形如1范数的，那么用2范数的最小二乘法拟合出来的直线就存在偏差。如果噪声中有粗大误差，那么如果不能事先去除，拟合的结果很有可能拟合了噪声而没能拟合真实数据。从这个角度看，其实我们能够解决的问题还比较有限，因为我们对于噪声的认识还不够。
从p范数的角度出发，均值是误差形如2范数的解，中位数是误差形如1范数的解，众数是误差形如0范数的解。猜想，p阶矩就是误差形如p范数的解。
到这里，我丧心病狂的把凸优化，线性代数和概率论貌似完美的在数据拟合的框架下联系在了一起。从其反方向看，这些理论本来就是为了解决数据拟合而被提出来的。只是数学教学时，人为的把本来应该在一起的拆开了。
图中的数据在y=2x上加入了标准差为10的零均值高斯白噪声
。使用上面推导的公式解出拟合曲线为
拟合误差的样本均值为0.abc%#%$^#e-13，样本标准差为9.44。同时，该拟合曲线通过样本的均值点 。
[plain]
view plaincopyprint?
<SPAN style="FONT-SIZE: 14px">a=4;
b=10;
lens=100;
x=1:lens;
y=zeros(1,lens);
y=2*x+b*randn(1,lens);
X=[x;y]';
Y0=zeros(lens,2);
Y1=zeros(lens,2);
Y2=zeros(lens,2);
Y3=zeros(lens,2);
pY=zeros(lens+10,2);
A=zeros(lens,4);
V=zeros(lens,4);
D=zeros(lens,4);
pY1=zeros(lens+10,2);
figure
for i=1:lens
Y0(i,:)=X(i,:);
if i>3 && a>=4
Y3(i,:)=Y0(i,:)-3*Y0(i-1,:)+3*Y0(i-2,:)-Y0(i-3,:);
end
if i>2 && a>=3
Y2(i,:)=Y0(i,:)-2*Y0(i-1,:)+Y0(i-2,:);
end
if i>1 && a>=2
Y1(i,:)=Y0(i,:)-Y0(i-1,:);
end
pY(i+1,:)=Y0(i,:)+Y1(i,:)+0.5*Y2(i,:)+1/6*Y3(i,:);
if i<lens
t=X(i+1,:)'*pinv(X(i,:)');
pY1(i+2,:)=(t*X(i+1,:)')';
[v d]=eig(t(1:2,1:2));
A(i,:)=reshape(t,1,4);
V(i,:)=reshape(v,1,4);
D(i,:)=reshape(d,1,4);
end
end
X1=[ones(1,lens);x]';
beta=inv(X1'*X1)*X1'*y';
pY2=X1*beta;
plot(x,y,'go')
hold on
plot(pY(a:lens,1),pY(a:lens,2),'r+');
plot(pY1(a:lens,1),pY1(a:lens,2),'bs');
plot(x,pY2,'mv');</SPAN>
上面的代码中pY是基于泰勒级数展开的近似估计，pY1是基于局部最小二乘估计，pY2是全局最小二乘估计。
说了这么多，我们原地踏步在一阶线性估计上，高阶怎么求解。改改X和
就可以了。求解方法还是原来的配方，还是原来的味道。这里就不在多啰嗦了。
（32）
（33）
给大家再拜上一记大杀器
&{h_1}\left( {{x_1}} \right)& \cdots &{h_m}\left( {{x_1}} \right)\\ {h_0}\left( 1 \right)&{h_1}\left( {{x_2}} \right)& \cdots &{h_m}\left( {{x_2}} \right)\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ {h_0}\left( 1 \right)&{h_1}\left( {{x_n}} \right)& \cdots &{h_m}\left( {{x_n}} \right) \end{bmatrix}%)
（34）
小伙伴们不要害怕，看
一副卖萌的样子就知道这货是传说中的核函数。加权函数一块来的时候，更加凶残的公式也就来了
（35）
从数据出发，我们总能对它们进行合适的解释，发现合适的模型，拟合出合适的曲线，并给出这种解释的好坏程度。到目前为止，我们对于数据拟合能够给出的最简洁的表达是
（36）
貌似我们可以满足的洗洗睡了，但是一个关键的问题是X的具体形式能不能由数据自己说出来，也就是说从无到有可不可能。此外，还有两个问题没有解决，如何在保证上式成立的同时将参数的空间最小化，也就说能够用线性拟合的不用二阶多项式拟合。第二个问题就是迭代拟合。现实情况中，我们接收到的数据往往是以时间序列的形式呈现的，那t时刻和t-1时刻的模型出现不一致时，怎么处理。
未完待续
/article/8301027.html
。将观测数据
代入
，得到
，其和
的偏差定义为
（1）
评价
拟合结果好坏的函数称为指标函数
（2）
拟合函数
在观测数据上总的偏差越小，说明拟合的越好，因此
可以具体写成
（3）
其中
，
是加权系数，表示每个观测数据的重要程度。一般情况下，我们认为每个观测数据是等重要的。因此，上式可以简化为
（4）
其中偏差可以定义为
（5）
当p=0时，
当p=1时，
当p=2时，
。。。
评价函数
一般写成p范数的p次方
（6）
求最优拟合函数
的过程是在
和
构成的空间上寻优的过程
（7）
对应的解是
（8）
指标函数是一个以函数为自变量的函数。至此，这个问题是变分问题（至于说如何使用变分来求解，暂且压一压，以后再细说）。
假设拟合函数为
。
，
，
。
如何求出
呢？，从p=2开始推导。
评价函数对
求导（因为在
的取值范围是连续的，且向量的
是一个凸函数，至少是不凹的），
（9）
（10）
当
时，
，因此极值点为极小值点。
等价于
（11）
上式两边进行转置，得
（12）
X为列满秩矩阵，
的逆矩阵存在。因此
（13）
（14）
当p=0时，
。该式表示，拟合直线穿过观测数据点越多越好。
当p=1时，
。评价函数导数不连续，求解不像二范数求解那么方便，因此很少使用。
下面用一段代码，简单说明一下p范数对拟合结果的影响
[plain]
view plaincopyprint?
<SPAN style="FONT-SIZE: 14px">lens=50;
b=50;
x=1:lens;
y=2*x+b*randn(1,lens);
x=[1 2 3 4 5];
y=[1 2 2 3 5];
for k=1:200
for b=1:200
yk=(k-100)/10*x+(b-100)/10;
d=y-yk;
sign=ones(1,lens);
sign(find(abs(d)<0.5))=0;
err0(k,b)=sum(sign);
err1(k,b)=sum(abs(d));
err2(k,b)=sum(d.*d);
end
end
figure(1)
mesh(err0)
figure(2)
mesh(err1)
figure(3)
mesh(err2)
figure(4)
plot(x,y,'ro')
hold on
[a1 a2]=min(err0);
[b1 b2]=min(a1);
ka0=(a2(b2)-100)/10;
ba0=(b2-100)/10;
yk0=ka0*x+ba0;
plot(x,yk0,'md')
[a1 a2]=min(err1);
[b1 b2]=min(a1);
ka1=(a2(b2)-100)/10;
ba1=(b2-100)/10;
yk1=ka1*x+ba1;
plot(x,yk1,'g+')
[a1 a2]=min(err2);
[b1 b2]=min(a1);
ka2=(a2(b2)-100)/10;
ba2=(b2-100)/10;
yk2=ka2*x+ba2;
plot(x,yk2,'bs')
e10=sum(abs(y-yk0))
e11=sum(abs(y-yk1))
e12=sum(abs(y-yk2))
e20=sum((y-yk0).*(y-yk0))
e21=sum((y-yk1).*(y-yk1))
e22=sum((y-yk2).*(y-yk2))
legend('data','L0','L1','L2')
hold off</SPAN>
lens=50;
b=50;
x=1:lens;
y=2*x+b*randn(1,lens);
x=[1 2 3 4 5];
y=[1 2 2 3 5];
for k=1:200
for b=1:200
yk=(k-100)/10*x+(b-100)/10;
d=y-yk;
sign=ones(1,lens);
sign(find(abs(d)<0.5))=0;
err0(k,b)=sum(sign);
err1(k,b)=sum(abs(d));
err2(k,b)=sum(d.*d);
end
end
figure(1)
mesh(err0)
figure(2)
mesh(err1)
figure(3)
mesh(err2)
figure(4)
plot(x,y,'ro')
hold on
[a1 a2]=min(err0);
[b1 b2]=min(a1);
ka0=(a2(b2)-100)/10;
ba0=(b2-100)/10;
yk0=ka0*x+ba0;
plot(x,yk0,'md')
[a1 a2]=min(err1);
[b1 b2]=min(a1);
ka1=(a2(b2)-100)/10;
ba1=(b2-100)/10;
yk1=ka1*x+ba1;
plot(x,yk1,'g+')
[a1 a2]=min(err2);
[b1 b2]=min(a1);
ka2=(a2(b2)-100)/10;
ba2=(b2-100)/10;
yk2=ka2*x+ba2;
plot(x,yk2,'bs')
e10=sum(abs(y-yk0))
e11=sum(abs(y-yk1))
e12=sum(abs(y-yk2))
e20=sum((y-yk0).*(y-yk0))
e21=sum((y-yk1).*(y-yk1))
e22=sum((y-yk2).*(y-yk2))
legend('data','L0','L1','L2')
hold off这段代码首先生成一组数据（x，y），然后分别使用0、1和2范数进行拟合求解。搜索范围k=[-10,10]，b=[-10,10]。在搜索空间中找到拟合误差最小的最小p乘解。
从评价函数的2范数出发，
的解的形式中包含着复杂的矩阵运算关系，这其中应该蕴含着什么。让我们首先从一个简单的例子入手吧。
有a，b两个向量，b在a上的投影p可以写成投影长度x和a方向上单位向量的乘积
（15）
往a方向上做投影的投影变换矩阵为
（16）
（17）
向量b到向量a的距离等于e=b-p的模，垂直方向上的投影矩阵为
（18）
（19）
在数据拟合中，数据的个数远远多于未知数（待求解参数）的个数，因此这个方程不能得到精确解。我们需要找到距离Y最近的一个空间，将Y投影到该空间中。X的列向量构成的空间叫做列空间。该空间内的任意向量Xv都是X的列向量的线性组合得到，v就是组合系数。Y的近似解
形如
（20）
近似解
与Y之间的向量为
（21）
该向量垂直于X的列空间中的任意向量Xv，有
（22）
（23）
因为v为任意向量，因此
（24）
（20）式两边同时左乘矩阵X的转置，将（24）式代入得到
（25）
解出
（26）
近似解
（27）
Y在投影变换矩阵
的作用下，投影到X的列空间上，投影后得到的向量为
，误差向量
，误差的大小为
。
投影矩阵从另外一个角度解释了最小二乘法，同时也是最小p（p>2）乘法的解释。我们发现，最小二乘法给出的解是近似解。误差的来源方方面面，比如系统偏差，观测误差，记录误差等等。这些因素之间是一个什么样的关系，线性的还是非线性的，一时半会儿说不清楚，我们偷个懒，将拟合问题重新形式化如下
（28）
我们要求的问题等价于
（29）
搞工程的搞来搞去不经意的发现，当随机不可知的因素很多，独立随机试验的次数很大时，由这些随机因素造成的随机误差服从高斯分布。学术界的人按耐不住了，不能让搞工程的压下去，整出了一个中心极限定理，各种分布都会渐进服从高斯分布。
我们俗气一把，还是从高斯分布入手，假设误差 服从零均值高斯分布，即
。为什么是零均值，因为我们不想估计出个没用的有偏的分布出来。这种零均值误差还有个很带感的名字，白噪声。对其进行傅里叶变换后，各个频率都有响应，也就是说这种噪声是由不同频率的噪声合成的。我们常见的由各个频率合成的事物就是白色的光。所以，按照国际惯例，这种噪声叫做白噪声。
另外一个假设是独立同分布，也就是每次实验都是独立的，但是服从的分布相同。
（30）
（31）
令上式对
的导数为零，又见
。也就是说，最小二乘法的概率解释是，拟合误差服从零均值高斯分布，拟合直线通过均值点。
假设噪声服从形如
，那么其解对应的就是最小p范数解。这种分布貌似就是指数族分布，当p=1时叫做拉普拉斯分布，p=2时就是大名鼎鼎的高斯分布。
通过上面的分析，我们可以察觉到，噪声的模型影响了最终的拟合结果。如果噪声是形如1范数的，那么用2范数的最小二乘法拟合出来的直线就存在偏差。如果噪声中有粗大误差，那么如果不能事先去除，拟合的结果很有可能拟合了噪声而没能拟合真实数据。从这个角度看，其实我们能够解决的问题还比较有限，因为我们对于噪声的认识还不够。
从p范数的角度出发，均值是误差形如2范数的解，中位数是误差形如1范数的解，众数是误差形如0范数的解。猜想，p阶矩就是误差形如p范数的解。
到这里，我丧心病狂的把凸优化，线性代数和概率论貌似完美的在数据拟合的框架下联系在了一起。从其反方向看，这些理论本来就是为了解决数据拟合而被提出来的。只是数学教学时，人为的把本来应该在一起的拆开了。
图中的数据在y=2x上加入了标准差为10的零均值高斯白噪声
。使用上面推导的公式解出拟合曲线为
拟合误差的样本均值为0.abc%#%$^#e-13，样本标准差为9.44。同时，该拟合曲线通过样本的均值点 。
[plain]
view plaincopyprint?
<SPAN style="FONT-SIZE: 14px">a=4;
b=10;
lens=100;
x=1:lens;
y=zeros(1,lens);
y=2*x+b*randn(1,lens);
X=[x;y]';
Y0=zeros(lens,2);
Y1=zeros(lens,2);
Y2=zeros(lens,2);
Y3=zeros(lens,2);
pY=zeros(lens+10,2);
A=zeros(lens,4);
V=zeros(lens,4);
D=zeros(lens,4);
pY1=zeros(lens+10,2);
figure
for i=1:lens
Y0(i,:)=X(i,:);
if i>3 && a>=4
Y3(i,:)=Y0(i,:)-3*Y0(i-1,:)+3*Y0(i-2,:)-Y0(i-3,:);
end
if i>2 && a>=3
Y2(i,:)=Y0(i,:)-2*Y0(i-1,:)+Y0(i-2,:);
end
if i>1 && a>=2
Y1(i,:)=Y0(i,:)-Y0(i-1,:);
end
pY(i+1,:)=Y0(i,:)+Y1(i,:)+0.5*Y2(i,:)+1/6*Y3(i,:);
if i<lens
t=X(i+1,:)'*pinv(X(i,:)');
pY1(i+2,:)=(t*X(i+1,:)')';
[v d]=eig(t(1:2,1:2));
A(i,:)=reshape(t,1,4);
V(i,:)=reshape(v,1,4);
D(i,:)=reshape(d,1,4);
end
end
X1=[ones(1,lens);x]';
beta=inv(X1'*X1)*X1'*y';
pY2=X1*beta;
plot(x,y,'go')
hold on
plot(pY(a:lens,1),pY(a:lens,2),'r+');
plot(pY1(a:lens,1),pY1(a:lens,2),'bs');
plot(x,pY2,'mv');</SPAN>
a=4; b=10; lens=100; x=1:lens; y=zeros(1,lens); y=2*x+b*randn(1,lens); X=[x;y]'; Y0=zeros(lens,2); Y1=zeros(lens,2); Y2=zeros(lens,2); Y3=zeros(lens,2); pY=zeros(lens+10,2); A=zeros(lens,4); V=zeros(lens,4); D=zeros(lens,4); pY1=zeros(lens+10,2); figure for i=1:lens Y0(i,:)=X(i,:); if i>3 && a>=4 Y3(i,:)=Y0(i,:)-3*Y0(i-1,:)+3*Y0(i-2,:)-Y0(i-3,:); end if i>2 && a>=3 Y2(i,:)=Y0(i,:)-2*Y0(i-1,:)+Y0(i-2,:); end if i>1 && a>=2 Y1(i,:)=Y0(i,:)-Y0(i-1,:); end pY(i+1,:)=Y0(i,:)+Y1(i,:)+0.5*Y2(i,:)+1/6*Y3(i,:); if i<lens t=X(i+1,:)'*pinv(X(i,:)'); pY1(i+2,:)=(t*X(i+1,:)')'; [v d]=eig(t(1:2,1:2)); A(i,:)=reshape(t,1,4); V(i,:)=reshape(v,1,4); D(i,:)=reshape(d,1,4); end end X1=[ones(1,lens);x]'; beta=inv(X1'*X1)*X1'*y'; pY2=X1*beta; plot(x,y,'go') hold on plot(pY(a:lens,1),pY(a:lens,2),'r+'); plot(pY1(a:lens,1),pY1(a:lens,2),'bs'); plot(x,pY2,'mv');
上面的代码中pY是基于泰勒级数展开的近似估计，pY1是基于局部最小二乘估计，pY2是全局最小二乘估计。
说了这么多，我们原地踏步在一阶线性估计上，高阶怎么求解。改改X和
就可以了。求解方法还是原来的配方，还是原来的味道。这里就不在多啰嗦了。
（32）
（33）
给大家再拜上一记大杀器
（34）
小伙伴们不要害怕，看
一副卖萌的样子就知道这货是传说中的核函数。加权函数一块来的时候，更加凶残的公式也就来了
（35）
从数据出发，我们总能对它们进行合适的解释，发现合适的模型，拟合出合适的曲线，并给出这种解释的好坏程度。到目前为止，我们对于数据拟合能够给出的最简洁的表达是
（36）
貌似我们可以满足的洗洗睡了，但是一个关键的问题是X的具体形式能不能由数据自己说出来，也就是说从无到有可不可能。此外，还有两个问题没有解决，如何在保证上式成立的同时将参数的空间最小化，也就说能够用线性拟合的不用二阶多项式拟合。第二个问题就是迭代拟合。现实情况中，我们接收到的数据往往是以时间序列的形式呈现的，那t时刻和t-1时刻的模型出现不一致时，怎么处理。
未完待续
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