【网络流】专题总结

发现好久没来写总结了

做了一星期+的网络流 还讲了两节课 是时候写个总结了

分类：

最大流： 用sap做 如果是平面图 可以对偶转换再求最短路

最小割： 求法和最大流一样 方案可以用bfs求

费用流： 用spfa做 如果时间过不了可以用zkw费用流（虽然我还不会- -）

上下界：

建立虚拟源、汇 求虚拟源汇最大流 若满流则有解

最大流： 先按虚拟源汇跑最大流 再按原本源汇跑最大流

最小流： 先不连原本汇到源的无穷大边 按虚拟源汇跑最大流 再连原本汇到源的边 再跑一次最大流

费用最大\最小流： 把上下界最大\最小流的sap改成spfa即可

应用：

减少点的个数：

看《网络流建模汇总》提到 如果想不出比较高效的建图方法 可以先建一张最简单的图 再按一下规律缩点

1.如果几个结点的流量的来源完全相同 则可以把它们合并成一个

2.如果几个结点的流量的去向完全相同 则可以把它们合并成一个

3.如果从点u到点v有一条容量为∞的边 并且点v除了点u以外没 有别的流量来源 则可以把这两个结点合并成一个

题目：poj 1149

入度&出度：

一些限定入度出度大小 并且有一些双向边让你定向的题目

可以先随便定一个方向再把源连到入度大于限定额额度的点 把入度小于限定额额度的点连到汇 容量为|入度-限定入度|

题目：poj 1637、poj 2699　　

拆点：

在限制点容量的题目 可以将一个点拆成两个点 将点转换为边 即可限制点容量

一些有层次性的题目 如不同时间点之间联通性不同 可以把一个点拆成若干点

题目：很多题目都要拆点- - 就不列举了

边转换为点：

如果一条边是有决策性的 如两点二选一 可以把这条边转换为点

再向它连的点各连一条边 只给这个点1的流量 就能实现二选一的效果

如果必须选某一个 可以不连另外一条边

题目：woj 1124

特殊的线性规划：

求不等式组的解 其中不等式中的变量都是连续的 把不等式左边加上一个yi 使不等式变等式

再把相邻的等式做差 这样每个变量在所有的等式中就只会正负各出现一次

把-xi连向xi 常数根据正负连到源或汇 跑最大流 剩余网络边权即为变量值

SAP代码：

传说中神一般的实现，会背即可

for (int i=1;i<=m;i++){
scanf("%d%d%d%d",&x,&y,&b,&c);
out[x]+=b;
in[y]+=b;
addline(x,y,c-b);
}
for (int i=1;i<=n;i++){
int m=in[i]-out[i];
if (m>0) addline(S0,i,m);
if (m<0) addline(i,T0,m);
}
SS=S0,TT=T0;
while (dis[SS]<nodes) sap(SS,INF);
addline(T,S,INF);
memset(dis,0,sizeof(dis));
memset(cnt,0,sizeof(cnt));
cnt[0]=nodes;
while (dis[SS]<nodes) sap(SS,INF);

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