考研复习——多元积分

0.做题的时候很害怕遇到这类问题，尤其是和斯托克斯定理高斯散度定理格林定理混在一起的时候。估计是，在学校学的时候，这块应该也是没有理解的，只是把各种定理的形式记住，然后做题的时候生搬硬套。这些天似乎是明白了一点，所以写下来，完全是自己的理解，有不对的地方请指正。

多元积分分类，简单到复杂：

累次积分

二重积分，三重积分

曲线积分（第一型，第二型），曲面积分（第一型，第二型）

1.  曲线的切线 ， 曲面的法线

	用参数方程表示	用曲面方程表示
曲线方程	x=X(t) y=Y(t) z=Z(t)	P(x,y,z)=0 Q(x,y,z)=0
曲面方程	x=X(u,v) y=Y(u,v) z=Z(u,v)	F(x,y,z)=0

相应的切线和法线表示

	用参数方程表示	用曲面方程表示
曲线的切线	( X', Y', Z' )	(P' x,P' y,P' z) X (Q' x,Q' y,Q' z)
曲面的法线	(X' u,Y' u,Z' u)X (X' v,Y' v,Z' v)	(F' x,F' y,F' z)

2.  曲线积分和曲面积分的微元

带方向微元	用参数方程表示	用曲面方程表示
曲线积分微元dL	( X', Y', Z' )dt	-
曲面积分微元dS	(X' u,Y' u,Z' u)X (X' v,Y' v,Z' v)dudv	-

注：a.微元方向必然与切线或法线方向一致，上两个表格的黄色部分一致

        b.由于微元可以在参数方程的情况下表示出来，所以可以用来计算；否则只能通过第二类积分转换为关于坐标的微分（dx,dy,dz,dydz,dzdx,dxdy），才能进行计算。

3. 第一类积分和第二类积分的转换

a.曲线积分



方向补充说明：

如果 t 增加的方向和曲线方向 （L 的方向）是相反，那么从第三步开始增加负号，到最后的一步变为有负号的结果。这时按 t 增加的方向定义起点和终点，和按照 L 的方向定义的起点终点是相反的，如果把最后一步的积分起点终点颠倒，则可以吸收负号，结果恰为按照L的方向的积分。

推导过程中dt 的上下限，为从小到大，即从小到大积分(不这样应该也可以)

b.曲面积分

和上面的推导类似



方向补充说明：



关于方向性：

a.坐标积分的方向性

第一类曲线或曲面积分是没有方向的，也就是说只要被积函数是正的，那么积分值也是正的。

但是当第一类积分代入参数方程，并且曲线微元或者面积微元换为参数微元（即上面的dl变为dt）后，积分变得有方向性。即使被积函数是正的，当积分的上下限不同时，可能会造成积分值为负的情况。

对于曲线积分，要求参数是从小积到打

对于曲面积分，两个参数都从小到大？

b.第二类积分的方向

对曲线积分，从推导过程可以看出，



4. 关于叉乘，矩阵的行列式，面积，坐标转换

a.叉乘可以用矩阵的行列式以方便计算

b.坐标转换的矩阵的行列式，对应微元的面积或者体积比

c.由于叉乘之于三维空间的特殊性，所以以上结论可能被限制在三维空间中

5. 斯托克斯公式，格林公式，保守场

对于函数 F=P(x,y,z)i+Q(x,y,z)j+R(x,y,z)，如果可以找到另一个函数f(x,y,z)，使得f(x,y,z)的梯度等于F，则说F的保守的。（单连通区域）

这时，



保守场的性质可以看做斯托克斯公式的特殊情形。

格林公式也可以以看成斯托克斯公式在R=0，P=P(x,y)，Q=Q(x,y) 时的情况。

wiki说微积分基本定理和高斯定理是广义的斯托克斯定理的推广，大概涉及到微分几何的内容，这个地方我没有想清楚。

关于几个定理，wiki上的这个表总结的比较全：
http://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%90%91%E9%87%8F%E5%BE%AE%E7%A9%8D%E5%88%86

定理	表示	注解
梯度定理 （线积分基本定理）		C为一平滑曲线。
格林定理		在封闭曲线C上所做的线积分， 等于在区域D所的积分。
高斯散度定理 （散度基本定理）
斯托克斯定理 （旋度基本定理）

6.电磁学的高斯定理和高斯散度公式

一直感觉有关系，但是好像关系不大，或者不是想象中的那样。q/ε这个东东是用曲面积分就算出来的。电场的强度在产生该场的电荷处是没有定义的，所以散度公式是不能直接用的。但是把电场强度代入散度公式，被积函数变为0，也就是说在不包括点电荷的区域中，电场的通量为0。