matlab FFT 横纵坐标

关于这个问题，在很早之前就分享过，也通过了解实现了算法，当时看的明白，想的明白，突然要用的时候，又开始疑问，不免有些纠结，与其每次使用的时候都查，浪费时间，还不如，一次搞定。
真心没把哪门没学好的课程，归结到老师，但fft这事，还真得跟大学老师讨个说法，哈哈。
 
matlab FFT 横坐标问题：前人关于FFT横坐标的详细阐述
我们知道Fourier分析是信号处理里很重要的技术，matlab提供了强大的信号处理能力，但是有一些细节部分需要我们注意。
记信号f(t)的起始时间为t_start, 终止时间为t_end, 采样周期为t_s, 可以计算信号的持续时间Duration为 t_end – t_start, 信号离散化造成的采样点数 N = Duration/t_s + 1;
根据Fourier分析的相关结论，我们知道时域的采样将会造成频域的周期化，该周期为采样频率f_s（著名的香农采样定理基于此）.
于是， 经过matlab的fft函数处理后，得到数据的横坐标为0:f_s/(N-1):f_s。相关代码如下所示：
%matlab fft 测试代码
t_s = 0.01;

       t_start = 0.5; t_end = 5;

       t = t_start:t_s:t_end;

       y = 0.5*sin(2*pi*15*t)+2*sin(2*pi*40*t);

       y_f = fft(y);
subplot(3,1,1);

       plot(t,y); title('original signal');
Duration = t_end - t_start;

       Sampling_points = Duration/t_s + 1;
f_s = 1/t_s;

       f_x = 0:f_s/(Sampling_points-1):f_s;
subplot(3,1,2);

       plot(f_x,abs(y_f)); title('fft transform');
subplot(3,1,3);

       plot(f_x-f_s/2,abs(fftshift(y_f))); title('shift fft transform');
也就是说，如果我们不使用fftshift，其变换后的横坐标为0:f_s/(N-1):f_s，如果使用fftshift命令，0频率分量将会移到坐标中心，这也正是matlab中帮助中心给出的意思：对fft的坐标进行了处理。实际上由于频谱的周期性，我们这样做是合理的，可以接受的。



请读者特别要注意横坐标的差别。另外，根据函数的特性，频谱应当只有在15Hz，40Hz出现峰值，但是fft变换后在60Hz，及85Hz处同样出现了峰值，应当可以从fft的计算过程中得到相应的解释。
 
事实上，如果我们用15Hz，60Hz来测试fft变换，也即是 y = 0.5*sin(2*pi*15*t)+2*sin(2*pi*60*t);图像如下所示，没有任何变化。
       


        这种现象提醒我们，频率在f_s以内，即 0<f<f_s，f 以及 f_s – f 都有可能是测试信号的频率谱，这就给我们带来了歧义。并且从第三个子图也可以看出，这时候的fftshift会给我们带来错误的引导，也就是说，如果我们试图采样fft或者fftshift来分析信号的频率谱显得不那么靠谱了，matlab的fft谱线与信号的实际频率并不是一一对应的映射关系。这当然不是我们所期望看到的结果，所以实际分析信号时，有关这个问题需要额外的注意。
实际上，这也就间接地证明了Nyquist采样定理的合理性：采样频率要高于截止频率的两倍，上面的处理中我们所使用的采样频率为100Hz，于是当截止频率超过50Hz时，就会出现混叠效应，特殊情况就如上图所示：完全一样。于是，这也就告诉我们若要正确的显示频谱，需要仔细地考量采样频率与截止频率的关系，若太小，则有可能出现混叠，若太大，则计算代价过高。
 
上面内容说明了fft横坐标与采样定理的问题，如果你没有这个耐心看完，想着这事啥呀，乱七八糟的。下面我总结了坐标问题如下：
1）如果你用fft（NFFT）计算振幅谱，且fft变换后的点数为NFFT的话，只用fft，而不用fftshift，那么：
      你只需要显示fft变换结果的前NFFT/2个点，横坐标为fx=index*Fs/(nfft-1),index=0:nfft/2-1 ;
2）如果你用fft（NFFT）计算振幅谱，且fft变换后的点数为NFFT的话，用了fft，还用了fftshift，那么：
      你需要显示fft变换结果的数据点，横坐标为 fx = 0:Fs/(nfft-1):Fs;fx=fx-Fs/2;
原因：对实信号fft，产生了负频率，由于FFT变化是对称的，所以负频率对应到了Fs/2~Fs上，对实信号而言，该段频率没有任何意义，所以只显示到Fs/2。
 

matlab FFT 纵坐标问题：前人关于FFT纵坐标的详细阐述

一.调用方法

X=FFT(x)；

X=FFT(x，N)；

x=IFFT(X);

x=IFFT(X,N)

用MATLAB进行谱分析时注意：

（1）函数FFT返回值的数据结构具有对称性。

例：

N=8;

n=0:N-1;

xn=[4 3 2 6 7 8 9 0];

Xk=fft(xn)

→

Xk =

39.0000 -10.7782 + 6.2929i
0 - 5.0000i 4.7782 - 7.7071i 5.0000
4.7782 + 7.7071i 0 + 5.0000i -10.7782 - 6.2929i

Xk与xn的维数相同，共有8个元素。Xk的第一个数对应于直流分量，即频率值为0。

（2）做FFT分析时，幅值大小与FFT选择的点数有关，但不影响分析结果。在IFFT时已经做了处理。要得到真实的振幅值的大小，只要将得到的变换后结果乘以2除以N即可。

二.FFT应用举例

例1：x=0.5*sin(2*pi*15*t)+2*sin(2*pi*40*t)。采样频率fs=100Hz，分别绘制N=128、1024点幅频图。

clf;

fs=100;N=128; %采样频率和数据点数

n=0:N-1;t=n/fs; %时间序列

x=0.5*sin(2*pi*15*t)+2*sin(2*pi*40*t); %信号

y=fft(x,N); %对信号进行快速Fourier变换

mag=abs(y); %求得Fourier变换后的振幅

f=n*fs/N; %频率序列

subplot(2,2,1),plot(f,mag); %绘出随频率变化的振幅

xlabel('频率/Hz');

ylabel('振幅');title('N=128');grid on;

subplot(2,2,2),plot(f(1:N/2),mag(1:N/2)); %绘出Nyquist频率之前随频率变化的振幅

xlabel('频率/Hz');

ylabel('振幅');title('N=128');grid on;

%对信号采样数据为1024点的处理

fs=100;N=1024;n=0:N-1;t=n/fs;

x=0.5*sin(2*pi*15*t)+2*sin(2*pi*40*t); %信号

y=fft(x,N); %对信号进行快速Fourier变换

mag=abs(y); %求取Fourier变换的振幅

f=n*fs/N;

subplot(2,2,3),plot(f,mag); %绘出随频率变化的振幅

xlabel('频率/Hz');

ylabel('振幅');title('N=1024');grid on;

subplot(2,2,4)

plot(f(1:N/2),mag(1:N/2)); %绘出Nyquist频率之前随频率变化的振幅

xlabel('频率/Hz');

ylabel('振幅');title('N=1024');grid on;

运行结果：



fs=100Hz，Nyquist频率为fs/2=50Hz。整个频谱图是以Nyquist频率为对称轴的。并且可以明显识别出信号中含有两种频率成分：15Hz和40Hz。由此可以知道FFT变换数据的对称性。因此用FFT对信号做谱分析，只需考察0~Nyquist频率范围内的福频特性。若没有给出采样频率和采样间隔，则分析通常对归一化频率0~1进行。另外，振幅的大小与所用采样点数有关，采用128点和1024点的相同频率的振幅是有不同的表现值，但在同一幅图中，40Hz与15Hz振动幅值之比均为4：1，与真实振幅0.5：2是一致的。为了与真实振幅对应，需要将变换后结果乘以2除以N。

例2：x=0.5*sin(2*pi*15*t)+2*sin(2*pi*40*t),fs=100Hz,绘制：

（1）数据个数N=32，FFT所用的采样点数NFFT=32；

（2）N=32，NFFT=128；

（3）N=136，NFFT=128；

（4）N=136，NFFT=512。

clf;fs=100; %采样频率

Ndata=32; %数据长度

N=32; ?T的数据长度

n=0:Ndata-1;t=n/fs; %数据对应的时间序列

x=0.5*sin(2*pi*15*t)+2*sin(2*pi*40*t); %时间域信号

y=fft(x,N); %信号的Fourier变换

mag=abs(y); %求取振幅

f=(0:N-1)*fs/N; %真实频率

subplot(2,2,1),plot(f(1:N/2),mag(1:N/2)*2/N); %绘出Nyquist频率之前的振幅

xlabel('频率/Hz');ylabel('振幅');

title('Ndata=32 Nfft=32');grid on;
Ndata=32; %数据个数

N=128; ?T采用的数据长度

n=0:Ndata-1;t=n/fs; %时间序列

x=0.5*sin(2*pi*15*t)+2*sin(2*pi*40*t);

y=fft(x,N);

mag=abs(y);

f=(0:N-1)*fs/N; %真实频率

subplot(2,2,2),plot(f(1:N/2),mag(1:N/2)*2/N); %绘出Nyquist频率之前的振幅

xlabel('频率/Hz');ylabel('振幅');

title('Ndata=32 Nfft=128');grid on;
Ndata=136; %数据个数

N=128; ?T采用的数据个数

n=0:Ndata-1;t=n/fs; %时间序列

x=0.5*sin(2*pi*15*t)+2*sin(2*pi*40*t);

y=fft(x,N);

mag=abs(y);

f=(0:N-1)*fs/N; %真实频率

subplot(2,2,3),plot(f(1:N/2),mag(1:N/2)*2/N); %绘出Nyquist频率之前的振幅

xlabel('频率/Hz');ylabel('振幅');

title('Ndata=136 Nfft=128');grid on;
Ndata=136; %数据个数

N=512; ?T所用的数据个数

n=0:Ndata-1;t=n/fs; %时间序列

x=0.5*sin(2*pi*15*t)+2*sin(2*pi*40*t);

y=fft(x,N);

mag=abs(y);

f=(0:N-1)*fs/N; %真实频率

subplot(2,2,4),plot(f(1:N/2),mag(1:N/2)*2/N); %绘出Nyquist频率之前的振幅

xlabel('频率/Hz');ylabel('振幅');

title('Ndata=136 Nfft=512');grid on;





结论：

（1）当数据个数和FFT采用的数据个数均为32时，频率分辨率较低，但没有由于添零而导致的其他频率成分。

（2）由于在时间域内信号加零，致使振幅谱中出现很多其他成分，这是加零造成的。其振幅由于加了多个零而明显减小。

（3）FFT程序将数据截断，这时分辨率较高。

（4）也是在数据的末尾补零，但由于含有信号的数据个数足够多，FFT振幅谱也基本不受影响。
对信号进行频谱分析时，数据样本应有足够的长度，一般FFT程序中所用数据点数与原含有信号数据点数相同，这样的频谱图具有较高的质量，可减小因补零或截断而产生的影响。
例3：x=cos(2*pi*0.24*n)+cos(2*pi*0.26*n)




（1）数据点过少，几乎无法看出有关信号频谱的详细信息；

（2）中间的图是将x(n)补90个零，幅度频谱的数据相当密，称为高密度频谱图。但从图中很难看出信号的频谱成分。

（3）信号的有效数据很长，可以清楚地看出信号的频率成分，一个是0.24Hz，一个是0.26Hz，称为高分辨率频谱。
可见，采样数据过少，运用FFT变换不能分辨出其中的频率成分。添加零后可增加频谱中的数据个数，谱的密度增高了，但仍不能分辨其中的频率成分，即谱的分辨率没有提高。只有数据点数足够多时才能分辨其中的频率成分。

======================评论======================================
1）FFT的算法与奈奎斯特频率没有关系，奈奎斯特频率只是用来避免频率的混叠。
2）对称是因为fft本身算法产生的吧！奈奎斯特频率是系统最高频率*2得到的最低采样频率，和fft没有关系啊，如果低于奈奎斯特频率采样，就会发生频谱混叠，是把大于系统最高频率的部分对称加到小于的部分，发生混叠现象。
3）"频谱图是以Nyquist频率为对称轴的"这句话不对。对称轴是N/2

 

上面内容说明了fft纵坐标的问题，如果你没有这个耐心看完，想着这事啥呀，乱七八糟的。下面我总结了坐标问题如下：
1）如果你用fft（NFFT）计算振幅谱，且fft变换后的点数为NFFT的话，那么将得到的振幅谱abs（fft（x））的结果乘以2然后除以N。
2）无。