彻底弄懂最短路径

原文地址：/article/4735962.html原文作者：张鹏飞

只想说：温故而知新，可以为师矣。我大二的《数据结构》是由申老师讲的，那时候
不怎么明白，估计太理论化了(ps：或许是因为我睡觉了)；今天把老王的2011年课件又
看了一遍，给大二的孩子们又讲了一遍，随手谷歌了N多资料，算是彻底搞懂了最短路
径问题。请读者尽情享用……
我坚信：没有不好的学生，只有垃圾的教育。不过没有人理所当然的对你好，
所以要学会感恩。
一.问题引入
问题：从某顶点出发，沿图的边到达另一顶点所经过的路径中，各边上权值之
和最小的一条路径——最短路径。解决最短路的问题有以下算法，Dijkstra算法，
Bellman-Ford算法，Floyd算法和SPFA算法，另外还有著名的启发式搜索算法A*，不过
A*准备单独出一篇，其中Floyd算法可以求解任意两点间的最短路径的长度。笔者认为
任意一个最短路算法都是基于这样一个事实：从任意节点A到任意节点B的最短路径不外
乎2种可能，1是直接从A到B，2是从A经过若干个节点到B。
二.Dijkstra算法
该算法在《数据结构》课本里是以贪心的形式讲解的，不过在《运筹学》教材
里被编排在动态规划章节，建议读者两篇都看看。



观察右边表格发现除最后一个节点外其他均已经求出最短路径。
(1) 迪杰斯特拉(Dijkstra)算法按路径长度(看下面表格的最后一行，就是
next点)递增次序产生最短路径。先把V分成两组：

S：已求出最短路径的顶点的集合

V-S=T：尚未确定最短路径的顶点集合

将T中顶点按最短路径递增的次序加入到S中，依据：可以证明V0到T中顶点Vk
的最短路径，或是从V0到Vk的直接路径的权值或是从V0经S中顶点到Vk的路径权值之
和（反证法可证，说实话，真不明白哦）。
(2) 求最短路径步骤

初使时令 S={V0},T={其余顶点}，T中顶点对应的距离值， 若存在<V0,Vi>，为<V0,Vi>弧上的权值（和ＳＰＦＡ初始化方式不同），若不存在<V0,Vi>，为Inf。
从T中选取一个其距离值为最小的顶点W(贪心体现在此处)，加入S(注意不是直接从S集合中选取，理解这个对于理解vis数组的作用至关重要)，对T中顶点的距离值进行修改：若加进W作中间顶点，从V0到Vi的距离值比不加W的路径要短，则修改此距离值（上面两个并列for循环，使用最小点更新）。
重复上述步骤，直到S中包含所有顶点，即S=V为止（说明最外层是除起点外的遍历）。

下面是上图的求解过程，按列来看，第一列是初始化过程，最后一行是每次求得的next点。



(3) 问题：Dijkstar能否处理负权边？(下面的解释引自网上某大虾)
答案是不能，这与贪心选择性质有关(ps：貌似还是动态规划啊，晕
了)，每次都找一个距源点最近的点（dmin），然后将该距离定为这个点到源点的最短
路径；但如果存在负权边，那就有可能先通过并不是距源点最近的一个次优点
（dmin'），再通过这个负权边L(L<0)，使得路径之和更小（dmin'+L<dmin）,则
dmin'+L成为最短路径，并不是dmin，这样dijkstra就被囧掉了。比如n=3，邻接矩
阵：

0，3，4

3，0，-2

4，-2，0,
用dijkstra求得d[1，2]=3，事实上d[1，2]=2，就是通过了1-3-2使得路径减小。不知
道讲得清楚不清楚。
二.Floyd算法
参考了南阳理工牛帅(目前在新浪)的博客。
Floyd算法的基本思想如下：从任意节点A到任意节点B的最短路径不外乎2种可
能，1是直接从A到B，2是从A经过若干个节点到B，所以，我们假设dist(AB)为节点A到
节点B的最短路径的距离，对于每一个节点K，我们检查dist(AK) + dist(KB)
< dist(AB)是否成立，如果成立，证明从A到K再到B的路径比A直接到B的路径短，我们
便设置 dist(AB) = dist(AK) + dist(KB)，这样一来，当我们遍历完所有节点K，
dist(AB)中记录的便是A到B的最短路径的距离。
很简单吧，代码看起来可能像下面这样：

for (int i=0; i<n; ++i) {

for (int j=0; j<n; ++j) {

for (int k=0; k<n; ++k) {

if (dist[i][k] + dist[k][j] < dist[i][j] ) {

dist[i][j] = dist[i][k] + dist[k][j];

}

}

}

}

但是这里我们要注意循环的嵌套顺序，如果把检查所有节点K放在最内层，那
么结果将是不正确的，为什么呢？因为这样便过早的把i到j的最短路径确定下来了，而
当后面存在更短的路径时，已经不再会更新了。
让我们来看一个例子，看下图：



图中红色的数字代表边的权重。如果我们在最内层检查所有节点K，那么对于
A->B，我们只能发现一条路径，就是A->B，路径距离为9，而这显然是不正确的，真实
的最短路径是A->D->C->B，路径距离为6。造成错误的原因就是我们把检查所有节点K放
在最内层，造成过早的把A到B的最短路径确定下来了，当确定A->B的最短路径时
dist(AC)尚未被计算。所以，我们需要改写循环顺序，如下：
ps：个人觉得，这和银行家算法判断安全状态(每种资源去测试所有线程)，树
状数组更新(更新所有相关项)一样的思想。

for (int k=0; k<n; ++k) {

  for (int i=0; i<n; ++i) {

  for (int j=0; j<n; ++j) {

/*

实际中为防止溢出，往往需要选判断 dist[i][k]和dist[k][j

都不是Inf ，只要一个是Inf，那么就肯定不必更新。

*/

if (dist[i][k] + dist[k][j] < dist[i][j] ) {

dist[i][j] = dist[i][k] + dist[k][j];

}

}

}

}

如果还是看不懂，那就用草稿纸模拟一遍，之后你就会豁然开朗。半个小时足
矣（早知道的话会节省很多个半小时了。。

）
再来看路径保存问题：

void floyd() {

for(int i=1; i<=n ; i++){

for(int j=1; j<= n; j++){

if(map[i][j]==Inf){

path[i][j] = -1;//表示  i -> j 不通

}else{

path[i][j] = i;// 表示 i -> j 前驱为 i

}

  }

}

for(int k=1; k<=n; k++) {

for(int i=1; i<=n; i++) {

for(int j=1; j<=n; j++) {

if(!(dist[i][k]==Inf||dist[k][j]==Inf)&&dist[i][j] > dist[i][k] + dist[k][j]) {

      dist[i][j] = dist[i][k] + dist[k][j];

path[i][k] = i;

path[i][j] = path[k][j];

  }

}

  }

}

}

void printPath(int from, int to) {

/*

* 这是倒序输出，若想正序可放入栈中，然后输出。

*

* 这样的输出为什么正确呢？个人认为用到了最优子结构性质，

* 即最短路径的子路径仍然是最短路径

*/

while(path[from][to]!=from) {

System.out.print(path[from][to] +" ");

to = path[from][to];

  }

}

《数据结构》课本上的那种方式我现在还是不想看，看着不舒服……

Floyd算法另一种理解DP，为理论爱好者准备的，上面这个形式的算法其实是
Floyd算法的精简版，而真正的Floyd算法是一种基于DP(Dynamic Programming)的最短
路径算法。设图G中n 个顶点的编号为1到n。令c [i, j, k]表示从i 到j 的最短路径的
长度，其中k 表示该路径中的最大顶点，也就是说c[i,j,k]这条最短路径所通过的中间
顶点最大不超过k。因此，如果G中包含边<i, j>，则c[i, j, 0] =边<i, j> 的长度；
若i= j ，则c[i,j,0]=0；如果G中不包含边<i, j>，则c (i, j, 0)= +∞。c[i, j, n]
则是从i 到j 的最短路径的长度。对于任意的k>0，通过分析可以得到：中间顶点不超
过k 的i 到j 的最短路径有两种可能：该路径含或不含中间顶点k。若不含，则该路径
长度应为c[i, j, k-1]，否则长度为 c[i, k, k-1] +c [k, j, k-1]。c[i, j, k]可取
两者中的最小值。状态转移方程：c[i, j, k]=min{c[i, j, k-1], c [i, k, k-1]+c
[k, j, k-1]}，k＞0。这样，问题便具有了最优子结构性质，可以用动态规划方法来
求解。
看另一个DP(直接引用王老师课件)





说了这么多，相信读者已经跃跃欲试了，咱们看一道例题，以ZOJ 1092为
例：给你一组国家和国家间的部分货币汇率兑换表，问你是否存在一种方式，从一种货
币出发，经过一系列的货币兑换，最后返回该货币时大于出发时的数值(ps：这就是所
谓的投机倒把吧)，下面是一组输入。

3 //国家数

USDollar //国家名

BritishPound

FrenchFranc

3 //货币兑换数

USDollar 0.5 BritishPound //部分货币汇率兑换表

BritishPound 10.0 FrenchFranc

FrenchFranc 0.21 USDollar

月赛做的题，不过当时用的思路是求强连通分量(ps：明明说的，那时我和华
杰感觉好有道理)，也没做出来，现在知道了直接floyd算法就ok了。
思路分析：输入的时候可以采用Map<String,Integer> map = new
HashMap<String,Integer>()主要是为了获得再次包含汇率输入时候的下标以建图(感
觉自己写的好拗口)，或者第一次直接存入String数组str，再次输入的时候每次遍历
str数组，若是equals那么就把str的下标赋值给该币种建图。下面就是floyd算法啦，
初始化其它点为-1，对角线为1，采用乘法更新求最大值。
三.Bellman-Ford算法
为了能够求解边上带有负值的单源最短路径问题，Bellman(贝尔曼，动态规划
提出者)和Ford(福特)提出了从源点逐次绕过其他顶点，以缩短到达终点的最短路径长
度的方法。 Bellman-ford算法是求含负权图的单源最短路径算法，效率很低，但代码
很容易写。即进行不停地松弛，每次松弛把每条边都更新一下，若n-1次松弛后还能更
新，则说明图中有负环，无法得出结果，否则就成功完成。Bellman-ford算法有一个小
优化：每次松弛先设一个flag，初值为FALSE，若有边更新则赋值为TRUE，最终如果还
是FALSE则直接成功退出。Bellman-ford算法浪费了许多时间做无必要的松弛，所以
SPFA算法用队列进行了优化，效果十分显著，高效难以想象。SPFA还有SLF，LLL，滚动
数组等优化。
关于SPFA，请看我这一篇/article/4735946.html
递推公式(求顶点u到源点v的最短路径)：

dist 1 [u] = Edge[v][u]
dist k [u] = min{ dist k-1 [u], min{ dist k-1 [j] + Edge[j][u] } }, j=0,1,…,n-1,j≠u

Dijkstra算法和Bellman算法思想有很大的区别：Dijkstra算法在求解过程
中，源点到集合S内各顶点的最短路径一旦求出，则之后不变了，修改 的仅仅是源点
到T集合中各顶点的最短路径长度。Bellman算法在求解过程中，每次循环都要修改所有
顶点的dist[ ]，也就是说源点到各顶点最短路径长度一直要到Bellman算法结束才确定
下来。

算法适用条件

1.单源最短路径(从源点s到其它所有顶点v)
有向图&无向图(无向图可以看作(u,v),(v,u)同属于边集E的有向图)
边权可正可负(如有负权回路输出错误提示)
差分约束系统(至今貌似只看过一道题)

Bellman-Ford算法描述：

初始化：将除源点外的所有顶点的最短距离估计值 d[v] ←+∞, d[s] ←0
迭代求解：反复对边集E中的每条边进行松弛操作，使得顶点集V中的每个顶点v的最短距离估计值逐步逼近其最短距离；（运行|v|-1次，看下面的描述性证明(当做树)）
检验负权回路：判断边集E中的每一条边的两个端点是否收敛。如果存在未收敛的顶点，则算法返回false，表明问题无解；否则算法返回true，并且从源点可达的顶点v的最短距离保存在d[v]中

描述性证明：(这个解释很好)
首先指出，图的任意一条最短路径既不能包含负权回路，也不会包含正权回
路，因此它最多包含|v|-1条边。
其次，从源点s可达的所有顶点如果 存在最短路径，则这些最短路径构成一个以s为根
的最短路径树。Bellman-Ford算法的迭代松弛操作，实际上就是按顶点距离s的层次，
逐层生成这棵最短路径树的过程。
在对每条边进行1遍松弛的时候，生成了从s出发，层次至多为1的那些树枝。也就是
说，找到了与s至多有1条边相联的那些顶点的最短路径；对每条边进行第2遍松弛的时
候，生成了第2层次的树枝，就是说找到了经过2条边相连的那些顶点的最短路径……。
因为最短路径最多只包含|v|-1条边，所以，只需要循环|v|-1 次。
每实施一次松弛操作，最短路径树上就会有一层顶点达到其最短距离，此后这层顶点的
最短距离值就会一直保持不变，不再受后续松弛操作的影响。（但是，每次还要判断松
弛，这里浪费了大量的时间，这就是Bellman-Ford算法效率底下的原因，也正是SPFA优
化的所在）。


，如图(没找到画图工具的射线)，若是B和C的最短路径
不更新，那么点D的最短路径肯定也无法更新，这就是优化所在。
如果没有负权回路，由于最短路径树的高度最多只能是|v|-1，所以最多经过|v|-1遍松
弛操作后，所有从s可达的顶点必将求出最短距离。如果 d[v]仍保持 +∞，则表明从s
到v不可达。
如果有负权回路，那么第 |v|-1 遍松弛操作仍然会成功，这时，负权回路上的顶点不
会收敛。
参考来源：http://blog.sina.com.cn/s/blog_6803426101014l1v.html

问题：Bellman-Ford算法是否一定要循环n-1次么？未必！其实只要在某次循
环过程中，考虑每条边后，都没能改变当前源点到所有顶点的最短路径长度，那么
Bellman-Ford算法就可以提前结束了(开篇提出的小优化就是这个)。
上代码(来自牛帅)

#include<iostream>

#include<cstdio>

using namespace std;

#define MAX 0x3f3f3f3f

#define N 1010

int nodenum, edgenum, original; //点，边，起点

typedef struct Edge //边

{

int u, v;

int cost;

}Edge;

Edge edge
;

int dis
, pre
;

bool Bellman_Ford()

{

for(int i = 1; i <= nodenum; ++i) //初始化

dis[i] = (i == original ? 0 : MAX);

for(int i = 1; i <= nodenum - 1; ++i)

for(int j = 1; j <= edgenum; ++j)

if(dis[edge[j].v] > dis[edge[j].u] + edge[j].cost) //松弛（顺序一定不能反~）

      {

dis[edge[j].v] = dis[edge[j].u] + edge[j].cost;

pre[edge[j].v] = edge[j].u;

}

bool flag = 1; //判断是否含有负权回路

for(int i = 1; i <= edgenum; ++i)

if(dis[edge[i].v] > dis[edge[i].u] + edge[i].cost)

        {

flag = 0;

break;

  }

return flag;

}

void print_path(int root) //打印最短路的路径（反向）

{

while(root != pre[root]) //前驱

  {

printf("%d-->", root);

root = pre[root];

}

if(root == pre[root])

printf("%d\n", root);

}

int main()

{

scanf("%d%d%d", &nodenum, &edgenum, &original);

pre[original] = original;

for(int i = 1; i <= edgenum; ++i)

  {

scanf("%d%d%d", &edge[i].u, &edge[i].v, &edge[i].cost);

}

if(Bellman_Ford())

for(int i = 1; i <= nodenum; ++i) //每个点最短路

    {

printf("%d\n", dis[i]);

printf("Path:");

print_path(i);

}

else

printf("have negative circle\n");

return 0;

}

四.SPFA算法

用一个队列来进行维护。初始时将源加入队列。每次从队列中取出一个元素，
并对所有与他相邻的点进行松弛，若某个相邻的点松弛成功，则将其入队。直到队列为
空时算法结束；这个算法，简单的说就是队列优化的bellman-ford，利用了每个点不会
更新次数太多的特点发明的此算法(看我上面那个图，只有相邻点更新了，该点才有可
能更新) 。
代码参见 ： /article/4735946.html

五.趣闻

整理该篇博文的时候，一哥们发布网站到我们群，网站很精美，一牛神
(acmol)使用fork炸弹，结果服务器立马挂啦，更改后又挂啦，目测目前无限挂中。。。