位运算

(1)、按位与(&)，将两个操作数化为二进制后并将对应的每一位分别进行逻辑与操作。(a%(2^n)=a&(2^n-1))

(2)、按位或(|)，将两个操作数化为二进制后并将对应的每一位分别进行逻辑或操作。

(3)、按位异或(^)，和以上同，异或是指对应位相同则运算结果为0，否则为1。

(4)、按位取反(~)，对每一位进行取反。(求x的相反数：x=(~x+1))

(5)、移位。分为左移(<<)和右移(>>)，左移是按照指定的位数将一个数的二进制值向左移位，左移后，低位补0，移除的高位舍去，右移相反。

等价转换：a<<n=a*(2^n)，a>>n=a/(2^n)。

#include<iostream>
using namespace std;
int n=7,m=9;
int main()
{ cout<<(n&m)<<endl;
/********************
7: 0 0 0 0 0 1 1 1
9:(&) 0 0 0 0 1 0 0 1
_____________________
0 0 0 0 0 0 0 1
所以输出结果为1。
********************/
cout<<(n|m)<<endl; //输出(1111)2=15
cout<<(n&1)<<endl; //判断一个数是否为奇数,n&1=1则为奇数,否则为偶数
cout<<(~n)<<endl; //(11111000)2=-8,前面的的1为符号位
cout<<(n^m)<<endl; //(1110)2=14
cout<<(n<<2)<<endl; //(11100)2=28
cout<<(m>>2)<<endl; //(10)2=2
n=n^m,m=m^n,n=n^m; //可以用来交换两个数值
/**********************************
n=n^m,所以m=m^n=m^(n^m)=(m^m)^n=7
n=n^m=(n^m)^(m^m)^n=(n^n)^(m^m)^m=9
**********************************/
cout<<n<<" "<<m<<endl;
return 0;
}


位运算的应用：

求平均值：求(x+y)/2时，可能x+y会超过int的最大值，可以用位运算来求：

int Ave(int x,int y)
{   return x&y+((x^y)>>1);
}

判断一个数是否能够写成2的幂次方形式。

bool comp(int x)
{ if((x&(x-1))==0) return true;
return false;
}
统计一个数的二进制数中1的个数。利用x=x&(x-1)，会将x用二进制表示时最右边的一个1变为0，因为x-1会将该位变为0.

int Count(int x)
{ int sum=0;
while(x)
{ sum++;
x=x&(x-1);
}
return sum;
}
例题1：NYOJ
222(整数中的1)，求区间[a,b]内所有整数的二进制的1的个数。位运算的强大应用~~~使用上面的代码的话肯定超时~~a,b的范围太大了~~呵呵，还是贴下，有些肯定用的上~~

#include<iostream>
#include<cstdio>
using namespace std;
int Count(int x)
{ int sum=0;
while(x)
{ sum++;
x=x&(x-1);
}
return sum;
}
int main()
{ int a,b;
while(scanf("%d%d",&a,&b)!=EOF)
{ int sum=0;
for(int i=a;i<=b;i++)
sum+=Count(i);
printf("%d\n",sum);
}
return 0;
}
方法2：打表法，都知道是以空间换时间，直接调用效率肯定是最高的~首先我们可以保存从0~2^32中每个数的二进制1的个数，然后直接调用即可，但是这样打表似乎太困难了点，这个时候我们可以值保存0~255中的每个数的二进制值中1的个数，然后进行分段查询即可。至于这个打0~255的表的话可以利用上面的代码打出~打表的程序：

#include<iostream>
using namespace std;
int Count(int x)
{ int sum=0;
while(x)
{ sum++;
x=x&(x-1);
}
return sum;
}
int main()
{ for(int i=0;i<256;i++)
cout<<Count(i)<<",";
cout<<endl;
return 0;
}
然后直接全选复制保存到一个数组中即可。将32位整形分为四段，求出每一段的1的个数和相加即为该数二进制值的1的个数，问题是如何求出每一段中的1的个数，比方说我要求后面k位数的1的个数，可以这样做：

//x * * * * * * * * * *
//y(&) ....1 1 1 1 1(y=2^k-1),有k个1
//_______________________
//不管x的最后k位是什么,总之只有1&1=1,所以后面k位数与n&(2^k-1)这个数化为2进制的结果相同

下面的代码只是分为了四段，那么数组大小定义为256=2^8即可，这个时候每次应该移走8位了~当然你还可以取其它的数，关于位运算的一些公式：

(1)、取末尾k位：x&(2^k-1)；

(2)、在最后一位加一个1：x<<1+1；

(3)、把最后一位变为1：x|1；把最后一位变为0：x|1-1；

(4)、把右数第k位变为1：x|(1<<(k-1))，变为0：x&~(1<<(k-1))；

(5)、把末尾k位变为1：x|(1<<k-1)，变为0：x&~(1<<k-1)；

(5)、去掉右起第一个1的左边|,如(100101000->1000)：x & (x ^ (x-1)) 。等等~~

这个时候的代码就简单了~~

#include<iostream>
using namespace std;
int a[256]={0,1,1,2,1,2,2,3,1,2,2,3,2,3,3,4,1,2,2,3,2,3,3,4,2,3,3,4,3,4,
4,5,1,2,2,3,2,3,3,4,2,3,3,4,3,4,4,5,2,3,3,4,3,4,4,5,3,4,4,5,
4,5,5,6,1,2,2,3,2,3,3,4,2,3,3,4,3,4,4,5,2,3,3,4,3,4,4,5,3,4,
4,5,4,5,5,6,2,3,3,4,3,4,4,5,3,4,4,5,4,5,5,6,3,4,4,5,4,5,5,6,
4,5,5,6,5,6,6,7,1,2,2,3,2,3,3,4,2,3,3,4,3,4,4,5,2,3,3,4,3,4,
4,5,3,4,4,5,4,5,5,6,2,3,3,4,3,4,4,5,3,4,4,5,4,5,5,6,3,4,4,5,
4,5,5,6,4,5,5,6,5,6,6,7,2,3,3,4,3,4,4,5,3,4,4,5,4,5,5,6,3,4,
4,5,4,5,5,6,4,5,5,6,5,6,6,7,3,4,4,5,4,5,5,6,4,5,5,6,5,6,6,7,
4,5,5,6,5,6,6,7,5,6,6,7,6,7,7,8
};
int Count(int n)//计算n的二进制值中1的个数
{   int sum=0;
for(;n>0;n>>=8)
sum+=a[n&255];
return sum;
}
/**********************************************
int Count(int n)
{   unsigned char *ptr=(unsigned char *)&n;
return a[ptr[0]]+a[ptr[1]]+a[ptr[2]]+a[ptr[3]];
}
**********************************************/
int main()
{   int a,b;
cin>>a>>b;
int sum=0;
for(int i=a;i<=b;i++)
sum+=Count(i);
cout<<sum<<endl;
return 0;
}

使用这个方法的话真的是险过，但是你可以把数组做适当的调整，调大点，增加空间来降低时间，恩~~这个数组要能够写成2的幂次方的形式~

方法3：并行计算，利用二分法的思想求解~~难得想到，呵呵~我是没有想到，先贴出代码：暂时不懂，只先贴下代码，

#include<iostream>
using namespace std;
int Count(int x)
{   x=(x&0x55555555)+((x>>1)&0x55555555);
x=(x&0x33333333)+((x>>2)&0x33333333);
x=(x&0x0F0F0F0F)+((x>>4)&0x0F0F0F0F);
x=(x&0x00FF00FF)+((x>>8)&0x00FF00FF);
x=(x&0x0000FFFF)+((x>>16)&0x0000FFFF);
return x;
}
int main()
{   int a,b,sum=0;
cin>>a>>b;
for(int i=a;i<=b;i++)
sum+=Count(i);
cout<<sum<<endl;
return 0;
}

方法4：来源于这道题目后面的讨论，这种做法就更牛了，还是看不懂，贴下~~直接刷到0秒！！！NYOJ
281(整数中的1-2)可以用这个方法过了

#include<iostream>
using namespace std;
int Count(int n,int m)
{ if((n>>m)==0) return 0;
int d=(n>>m)&1;
if(d==1) return (n>>(m+1))*(1<<m)+(n&((1<< m)-1))+1+Count(n,m+1);
else return (n>>(m+1))*(1<<m)+Count(n,m+1);
}
int main()
{ int a,b;
cin>>a>>b;
int n=(a==0?1:a);
cout<<Count(b,0)-Count(n-1,0)<<endl;
return 0;
}
例题2：NYOJ
528(找球号)，充分利用^的作用：x^x=0，0^x=x。具体见代码：

#include<iostream>
#include<cstdio>
using namespace std;
int num,value;
int main()
{ while(scanf("%d",&num)!=EOF)
{ int sum=0;
for(int i=0;i<num;i++)
{ scanf("%d",&value);
sum^=value;
}
printf("%d\n",sum);
}
return 0;
}