游戏的物理和数学：Unity中的弹道和移动目标提前量计算

原文：http://game.ceeger.com/forum/read.php?tid=3919

弹道计算是游戏里常见的问题，其中关于击中移动目标的自动计算提前量的话题，看似简单，其实还是挺复杂的数学。网上这方面的资料还真不多，而且都是写的含含糊糊。抽空总结一下自己的方法。

讨论的前提是，假设目标是在3D空间里以匀速直线方式运动。

1.直线弹道

在不考虑重力和空气阻力影响的情况下，子弹的弹道呈直线运动。这种情况下，其实是个纯平面几何空间的问题，不需要微积分和线代知识。

分析的情况如下图:



虽然在3D空间飞行，但火炮命中时，命中点和火炮位置、飞机初始位置处于一个三角形上，只需要平面几何知识就能解决问题。在这个三角形中，飞机起始位置P和火炮T的位置是确定的，飞机的飞行方向也是确定的，所以θ角是已知的，D的长度也是已知的，F和G的长度虽然不知道，但在命中点H相遇的时候经过的时间t都是一样的，所以F/G的比例实际等于两者速度的比例，而两者的速度都是已知的。这样就可以用高中的余弦公式来解决这个求边长的问题：



其中V_p和V_g分别代表飞机的速度和炮弹飞行的速度，这是一个标准的1元2次方程，化简、消元对某这么一个非数学专业的来说太麻烦了，直接用求根公式求解吧，有好的化简方法请指教。



在Unity中实现的方法:

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假设你的炮弹是个Prefab叫projectilePrefab,带有一个刚体，那么可以这样生成炮弹实例:

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经过以上计算，炮弹可以准确的命中飞行中的目标，只要目标是按照固定速度和方位角飞行的，可以百发百中。当然也会有无解的情况，所以计算的时候判断了Delta,一共也就是几条语句。

2.抛物线弹道

考虑进重力影响，炮弹的弹道就是一个抛物线方程，而目标还是在3D空间的匀速直线运动，一个空间直线方程。



一个曲线方程和一个直线方程，以隐含参数t(飞行时间)求共同解(相交)问题，列方程组:



其中Vp和Vg分别代表飞机和炮弹飞行速度，角度Theta是炮弹射出时的仰角，t是飞行时间。这是个非齐次非线性隐含微分方程组，以某人的数学基础，看不出有什么特殊解的方法，用常规的迭代逼近求解吧，求达人提供更好方法。

迭代的过程大致是：

1.用一组预测的xy落点坐标带入抛物线方程

2.求出发射的角度和飞行时间t

3.将时间带t入直线方程，求出相应的xy坐标

4.将这个坐标与之前猜测的xy坐标进行比较，如果差值小于允许误差，迭代结束返回结果

5.如果差值大于误差，将这个新的xy作为下一次计算的预测xy,返回步骤1

这个过程的物理含义可以这样理解：瞄准飞机现在的位置发射，等炮弹飞到的时候飞机已经往前飞行了一段距离，把炮弹飞行时间乘以飞机速度，得到飞机在该时刻的实际位置，下次瞄准这个位置，再计算，因为目标变了，炮弹的飞行时间也变了，所以该时刻飞机位置也不同了，就这样不停循环，炮弹落点追赶飞机位置，直到两者差距无穷小。

针对抛物线方程把t带入，得到:



然后用基础代数方法进行推导化简，再用通用求根公式得到：



这样θ角就可以通过预测的落点坐标、炮弹初速度、重力加速度g来求出。

迭代是有很多技巧的，这些内容需要复习大学微积分课程。好的迭代方法能够快速收敛，最大化的解释运算开销。望高数达人提供更佳的迭代方法。

在Unity中实现，有几个核心思想：

1.迭代体用函数递归来实现

2.抛物线本身是2D曲线，所以其实不需要3重坐标就能计算，每次运算时把z指向预测的落点，第3个坐标可以无视

3.各种变换可以快速的通过向量、矩阵运算得到，很方便，不需要总是借助transform

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一个炮弹运动轨迹方程 一个目标运动轨迹方程，加一个迭代函数，就能完成计算抛物线弹道命中直线匀速移动目标的问题。实际使用的时候，可以先用方法1直线弹道算出一个命中点，作为初始预测点带入进行迭代，可以减少迭代次数。过程里使用了大量简化的向量和矩阵运算，对这部分不熟的读起来可能费劲。

在几千米范围以内的飞机，飞行速度在300-700km/h,炮弹出膛速度在500m/s（2战水平，其实高射炮出膛速度不止这么点），命中精度10m以内的前提下，基本上4次迭代以内可以完成。

3.更多复杂因素的计算

在实际情况中，还可能有更多的影响。比如目标不是匀速直线而是加速运动或者曲线运动，比如空气阻力对弹道的影响，弹丸质心不在几何中心时与重力、空间阻力夹角产生的偏转力矩，炮弹在移动的平台上射击移动的目标。另外炮弹出射点是从炮口算起，在旋转炮塔和炮管的情况下，这个出射点其实是个球面轨迹而不是个固定点。火炮发现目标到炮口转动到合适位置的时间里，目标又发生了位移，所以还要计算这个炮塔旋转的提前量。这一系列的复杂问题其实都可以通过联立方程组，然后迭代求解的方法实现，原理完全一样，只是计算复杂度大大增加。

比如在考虑空气阻力等情况下，炮弹的轨迹方程会是这种形式：



这些影响因素可能是线性的、2次乃至高次的。根据上面的算法，只要把抛物线方程组变成这个新的高次方程组求解，也可以适用。

再比如目标飞行的不是直线而是圆形，那么把目标的方程组变换成圆方程，也可以适用。当然在目标轨迹是非线性轨迹的情况下，迭代就不能用这种线性的迭代了，否则迭代结果会一会收敛一会发散，常规的方法是用目标轨迹函数的导函数计算迭代，这部分实在很难做到通用，需要根据具体情况调整。

给出一个概念方程组：



把这些方程组中按照影响关系进行多次分步迭代，最终能得到合适的解或者判断无解。这组方程可以应对各种复杂情况的组合，实际上军事上火控系统正是这样计算的。不过在游戏中，通常不需要这么复杂的计算，只要简单的模拟就足够了，所以只是从概念层面讨论一下,如果这些复杂因素都考虑进去，完全可以作成一个可视的军事仿真的程序来了。

惯例...只写原理不付DEMO大致是没多少人看的，附上自己写的demo



Reset Target:设置目标飞机以随机方位角和速度飞行

Gravity ON/OFF：设置是否开启重力

Aiming Mode: Manual/Auto 设置瞄准模式人工/自动

人工模式下：wsad键上下左右旋转炮管方位角 空格键击发

自动模式下：炮管自动瞄准提前量瞄准点，空格击发 百发百中

AutoCam ON/OFF:设置飞机小镜头的显示模式，关闭自动镜头可以用按钮调整镜头的角度 + -按钮缩放镜头





Change Focus:改变主镜头焦点，在高射炮和目标飞机之间切换，以飞机为焦点时的镜头：



如果无法命中，会发出提示音效

不同视角下的效果：百发百中的弹道 只给了炮弹一个初速度和方向 然后靠碰撞检测显示爆炸效果，过程完全靠物理引擎控制。









人工发射模式：





设置参数：

速度的单位都是m/s，长度单位都是m

Range是飞机初始位置的范围

Gravity Modifier:重力缩放因子，因为场景和模型是1:10比例，所以重力设置为1/10，否则就像玩具，模拟的效果不会真实

其他参数都会用这个因子缩放，所以按照实际情况设置就行。

TrajectorySim.unitypackage