大规模数据处理利器：BloomFilter

在Cstore中，SU运用的是延迟回收机制，根据定时启动独立线程，遍历MU的所有文件夹，将每个存在的文件的index做BloomFilter写入NFS中，SU从NFS中取得文件存在位图，根据标记位若是为0，则表明该文件已经删除，（MU的机制是将存在的文件都将BloomFilter的位置为1）对相应的文件做删除操作（同时删除文件表和文件）。

下面为具体BloomFilter的原理：

原文链接：http://blog.csdn.net/jiaomeng/article/details/1495500

Bloom Filter是一种空间效率很高的随机数据结构，它利用位数组很简洁地表示一个集合，并能判断一个元素是否属于这个集合。Bloom Filter的这种高效是有一定代价的：在判断一个元素是否属于某个集合时，有可能会把不属于这个集合的元素误认为属于这个集合（false
positive）。因此，Bloom Filter不适合那些“零错误”的应用场合。而在能容忍低错误率的应用场合下，Bloom Filter通过极少的错误换取了存储空间的极大节省。

集合表示和元素查询

下面我们具体来看Bloom Filter是如何用位数组表示集合的。初始状态时，Bloom Filter是一个包含m位的位数组，每一位都置为0。



为了表达S={x1, x2,…,xn}这样一个n个元素的集合，Bloom
Filter使用k个相互独立的哈希函数（Hash Function），它们分别将集合中的每个元素映射到{1,…,m}的范围中。对任意一个元素x，第i个哈希函数映射的位置hi(x)就会被置为1（1≤i≤k）。注意，如果一个位置多次被置为1，那么只有第一次会起作用，后面几次将没有任何效果。在下图中，k=3，且有两个哈希函数选中同一个位置（从左边数第五位）。   



 

在判断y是否属于这个集合时，我们对y应用k次哈希函数，如果所有hi(y)的位置都是1（1≤i≤k），那么我们就认为y是集合中的元素，否则就认为y不是集合中的元素。下图中y1就不是集合中的元素。y2或者属于这个集合，或者刚好是一个false
positive。

错误率估计

前面我们已经提到了，Bloom Filter在判断一个元素是否属于它表示的集合时会有一定的错误率（false positive rate），下面我们就来估计错误率的大小。在估计之前为了简化模型，我们假设kn<m且各个哈希函数是完全随机的。当集合S={x1,
x2,…,xn}的所有元素都被k个哈希函数映射到m位的位数组中时，这个位数组中某一位还是0的概率是：



其中1/m表示任意一个哈希函数选中这一位的概率（前提是哈希函数是完全随机的），(1-1/m)表示哈希一次没有选中这一位的概率。要把S完全映射到位数组中，需要做kn次哈希。某一位还是0意味着kn次哈希都没有选中它，因此这个概率就是（1-1/m）的kn次方。令p
= e-kn/m是为了简化运算，这里用到了计算e时常用的近似：



 

令ρ为位数组中0的比例，则ρ的数学期望E(ρ)= p’。在ρ已知的情况下，要求的错误率（false positive
rate）为：



(1-ρ)为位数组中1的比例，(1-ρ)k就表示k次哈希都刚好选中1的区域，即false
positive rate。上式中第二步近似在前面已经提到了，现在来看第一步近似。p’只是ρ的数学期望，在实际中ρ的值有可能偏离它的数学期望值。M. Mitzenmacher已经证明[2] ，位数组中0的比例非常集中地分布在它的数学期望值的附近。因此，第一步的近似得以成立。分别将p和p’代入上式中，得：
   



   



相比p’和f’，使用p和f通常在分析中更为方便。

最优的哈希函数个数

既然Bloom Filter要靠多个哈希函数将集合映射到位数组中，那么应该选择几个哈希函数才能使元素查询时的错误率降到最低呢？这里有两个互斥的理由：如果哈希函数的个数多，那么在对一个不属于集合的元素进行查询时得到0的概率就大；但另一方面，如果哈希函数的个数少，那么位数组中的0就多。为了得到最优的哈希函数个数，我们需要根据上一小节中的错误率公式进行计算。
 
先用p和f进行计算。注意到f = exp(k ln(1 − e−kn/m))，我们令g
= k ln(1 − e−kn/m)，只要让g取到最小，f自然也取到最小。由于p = e-kn/m，我们可以将g写成



根据对称性法则可以很容易看出当p = 1/2，也就是k = ln2· (m/n)时，g取得最小值。在这种情况下，最小错误率f等于(1/2)k ≈ (0.6185)m/n。另外，注意到p是位数组中某一位仍是0的概率，所以p
= 1/2对应着位数组中0和1各一半。换句话说，要想保持错误率低，最好让位数组有一半还空着。
 
需要强调的一点是，p = 1/2时错误率最小这个结果并不依赖于近似值p和f。同样对于f’
= exp(k ln(1 − (1 − 1/m)kn))，g’ = k ln(1 − (1 − 1/m)kn)，p’ = (1 − 1/m)kn，我们可以将g’写成



同样根据对称性法则可以得到当p’ = 1/2时，g’取得最小值。

位数组的大小

下面我们来看看，在不超过一定错误率的情况下，Bloom Filter至少需要多少位才能表示全集中任意n个元素的集合。假设全集中共有u个元素，允许的最大错误率为є，下面我们来求位数组的位数m。
 
假设X为全集中任取n个元素的集合，F(X)是表示X的位数组。那么对于集合X中任意一个元素x，在s
= F(X)中查询x都能得到肯定的结果，即s能够接受x。显然，由于Bloom Filter引入了错误，s能够接受的不仅仅是X中的元素，它还能够є
(u - n)个false positive。因此，对于一个确定的位数组来说，它能够接受总共n + є (u - n)个元素。在n + є (u - n)个元素中，s真正表示的只有其中n个，所以一个确定的位数组可以表示



个集合。m位的位数组共有2m个不同的组合，进而可以推出，m位的位数组可以表示
   



个集合。全集中n个元素的集合总共有
   



个，因此要让m位的位数组能够表示所有n个元素的集合，必须有
   



即：
   



上式中的近似前提是n和єu相比很小，这也是实际情况中常常发生的。根据上式，我们得出结论：在错误率不大于є的情况下，m至少要等于n
log2(1/є)才能表示任意n个元素的集合。
 

上一小节中我们曾算出当k = ln2· (m/n)时错误率f最小，这时f = (1/2)k =
(1/2)mln2 / n。现在令f≤є，可以推出



这个结果比前面我们算得的下界n log2(1/є)大了log2 e ≈ 1.44倍。这说明在哈希函数的个数取到最优时，要让错误率不超过є，m至少需要取到最小值的1.44倍。

总结

在计算机科学中，我们常常会碰到时间换空间或者空间换时间的情况，即为了达到某一个方面的最优而牺牲另一个方面。Bloom Filter在时间空间这两个因素之外又引入了另一个因素：错误率。在使用Bloom Filter判断一个元素是否属于某个集合时，会有一定的错误率。也就是说，有可能把不属于这个集合的元素误认为属于这个集合（False
Positive），但不会把属于这个集合的元素误认为不属于这个集合（False Negative）。在增加了错误率这个因素之后，Bloom Filter通过允许少量的错误来节省大量的存储空间。
 
自从Burton Bloom在70年代提出Bloom Filter之后，Bloom
Filter就被广泛用于拼写检查和数据库系统中。近一二十年，伴随着网络的普及和发展，Bloom Filter在网络领域获得了新生，各种Bloom Filter变种和新的应用不断出现。可以预见，随着网络应用的不断深入，新的变种和应用将会继续出现，Bloom
Filter必将获得更大的发展。

参考资料

[1] A. Broder and M. Mitzenmacher. Network applications
of bloom filters: A survey. Internet Mathematics, 1(4):485–509, 2005.
[2] M. Mitzenmacher. Compressed Bloom Filters.
IEEE/ACM Transactions on Networking 10:5 (2002), 604—612.
[3] www.cs.jhu.edu/~fabian/courses/CS600.624/slides/bloomslides.pdf
[4] http://166.111.248.20/seminar/2006_11_23/hash_2_yaxuan.ppt

C++实现代码：

链接：http://fayaa.com/code/view/12919/

C++语言: bloom_filter算法的C++实现

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <string.h>

unsigned int jshash(const char *s, unsigned size);
unsigned int sdbmhash(const char *s, unsigned size);

/* ------------- bloom types and funcs --------------- */
const unsigned char masks[8] = {0x01,0x02,0x04,0x08,0x10,0x20,0x40,0x80};

typedef unsigned (*hash_func_ptr)(const char *buffer, unsigned size);
struct __bloom_filter

{

    unsigned n;

    unsigned size;

    unsigned char *bits;

    hash_func_ptr hash;

};
typedef struct __bloom_filter* bloom_filter;

bloom_filter bloom_init (unsigned n, hash_func_ptr hash);
int bloom_insert(bloom_filter b, void *data, unsigned size);
int bloom_check(bloom_filter b, void *data, unsigned size);
void bloom_destroy(bloom_filter b);
/* ------------- end of bloom types and funcs --------------- */

int main()

{

    const int size = 655371;

    bloom_filter b1 = bloom_init(size, sdbmhash);

    for (int i = 0; i < size / 2; i += 2)

    {

        if (!bloom_insert(b1, &i, sizeof(i)))

        {

            fprintf(stderr, "err insert %d\n", i);

            exit(1);

        }

    }

    printf("insert ok\n");

    int cnt = 0;

    for (int i = 0; i < size / 2; i++)

    {

        if (bloom_check(b1, &i, sizeof(i)))

        {

            if (i & 1)

            {

                //printf("i = %d should not be checked, tolerable.\n", i);

                cnt++;

            }

        }

        else

        {

            if (!(i & 1))

            {

                printf("i = %d should be checked! BUG!\n", i);

            }

        }

    }

    printf("cnt = %d\n", cnt);

    return 0;

}

bloom_filter bloom_init (unsigned n, hash_func_ptr hash)

{

    bloom_filter b = (bloom_filter)malloc(sizeof(__bloom_filter));

    if (b == NULL)

    {

        fprintf(stderr, "bloom_init: err malloc bloom_filter\n");

        return NULL;

    }

    b->n    = n;

    b->size = (n + 7) / 8;

    b->hash = hash;

    b->bits = (unsigned char *)malloc(b->size);

    memset(b->bits, 0, b->size);

    if (b->bits == NULL)

    {

        fprintf(stderr, "bloom_init: err malloc bits\n");

        return NULL;

    }

    return b;

}

int bloom_insert(bloom_filter b, void *data, unsigned size)

{

    unsigned h = b->hash((const char *)data, size) % (b->n);

    unsigned idx = h / 8;

    if (idx >= b->size)

    {

        fprintf(stderr, "bloom_insert: hash value overflow\n");

        return 0;

    }

    b->bits[idx] |= masks[h % 8];

    //printf("h = %2d, idx = %2d, bit = %2d\n", h, idx, h % 8);

    return 1;

}

int bloom_check(bloom_filter b, void *data, unsigned size)

{

    unsigned h = b->hash((const char *)data, size) % (b->n);

    unsigned idx = h / 8;

    if (idx >= b->size)

    {

        fprintf(stderr, "bloom_insert: hash value overflow\n");

        exit(1);

    }

    return !!(b->bits[idx] & masks[h % 8]);

}

void bloom_destroy(bloom_filter b)

{

    if (b != NULL)

    {

        if (b->bits != NULL)

            free(b->bits);

        free(b);

    }

}

//-----------------------------------------------

unsigned int jshash(const char *s, unsigned size)

{

    int hash = 1315423911;

    unsigned len = 0;

    while (len < size)

    {

        hash ^= (hash << 5) + s[len] + (hash >> 2);

        len++;

    }

    return (hash & 0x7fffffffl);

}

unsigned int sdbmhash(const char *s, unsigned size)

{

    int hash = 0;

    unsigned len = 0;

    while (len < size)

    {

        hash = (hash << 6) + (hash << 16) - hash + s[len];

        len++;

    }

    return (hash & 0x7fffffffl);

}