从1元、2元和5元的钞票和等于100元的算法问题谈到递归

引入

一直以来，递归思想成为不少新手的拦路虎。同样作为一个新手，我希望这篇文章可以从新手

的角度出发，走入递归。

如本文标题，相信不少人碰到过这个问题：

“现有面值为1元、2元和5元的钞票（假设每种钞票都足够多），从这些钞票中取出任意张数使

其总面值为100元，问有多少种取法？“

我们将从这个问题入手，逐步深入。

基本思路

本文我们要学习递归思想，因此对其他解法不作解释。

一：先简化题目

将题中100元改成10元，即
”现有面值为1元、2元和5元的钞票（假设每种钞票都足够多），从这些
钞票中取出任意张数使其总面值为10元，问有多少种取法“
以便于我们具体分析；

二：思路（希望大家可以跟着我的思路走）

基本规则： 1、每次只取一张钞票，面额小的优先。

2、当已取钞票总额等于或超过10，则停止取钞,进行相应的判断后选择下一步的策略。

3、每次取出的面值必须比放回的钞票大。

4、每次取的面值必须大于或等于已取的面值。

现在我们开始去钞票，根据规则1，每次只取一张，我们从面额最小的开始取（面值小优先）：

第一张：取1元；

第二张：取1元；

第三张：取1元；

.

.

.

第九张：取1元；

第十张：取1元；

此时已取钞票总额为10元，根据规则2，停止取钞，进行判断。(11111 11111)

1.我们发现手里的钞票总额刚好为10，取法数N变为1；

2.然后我们将最后（即第十张）取出的那张1元钞票放回未取钞票中，根据规则3，选择

一张面额为2的钞票放入手中；

此时已取钞票总额为11元，根据规则2，停止取钞，进行判断。(11111 11112)

1.我们发现手里的钞票总额为11，取法数N不变；

2.然后我们将最后取出的那张2元钞票放回未取钞票中，根据规则3，选择一张面额为5的

钞票放入手中；

此时已取钞票总额为14元，根据规则2，停止取钞，进行判断。(11111 11115)

1.我们发现手里的钞票总额为14，取法数N不变；

2.然后我们将最后取出的那张5元钞票放回未取钞票中，并且此时已没有比5面值更大的

钞票选择，因此我们的策略是：将此刻手中的最后取出（即第九张）的那张1元钞票放回

未取钞票中，根据规则3，再选择一张面额为2的钞票放入手中；

此时已取钞票总额为10元，根据规则2，停止取钞，进行判断。(11111 1112)

1.我们发现手里的钞票总额为10，取法数N变为2；

2.然后我们将最后取出的那张2元钞票放回未取钞票中，根据规则3，再选择一张面额为5

的钞票放入手中；

此时已取钞票总额为13元，根据规则2，停止取钞，进行判断。(11111 1115)

1.我们发现手里的钞票总额为13，取法数N不变；

2.然后我们将最后取出的那张5元钞票放回未取钞票中，并且此时已没有比5面值更大的

钞票选择，因此我们的策略是：将此刻手中的最后取出（即第八张）的那张1元钞票放回

未取钞票中，根据规则3，再选择一张面额为2的钞票放入手中；

此时已取钞票总额为9，根据规则4，因此取出一张面额为2的钞票。

此时已取钞票总额为11元，根据规则2，停止取钞，进行判断。(11111 11122)

1.我们发现手里的钞票总额为11，取法数N不变；

2.然后我们将最后取出的那张2元钞票放回未取钞票中，根据规则3，再选择一张

面额为5的钞票放入手中；

此时已取钞票总额为14元，根据规则2，停止取钞，进行判断。(11111 11125)

1.我们发现手里的钞票总额为11，取法数N不变；

2.然后我们将最后取出的那张5元钞票放回未取钞票中，并且此时已没有比5面值更大的

钞票选择，因此我们的策略是：将此刻手中的最后取出那张2元钞票放回未取钞票中，

根据规则3，再选择一张面额为5的钞票放入手中；

此时已取钞票总额为12，根据规则2，停止取钞，进行判断。(11111 115)

1.我们发现手里的钞票总额为12，取法数N不变；

2.然后我们将最后取出的那张5元钞票放回未取钞票中，并且此时已没有比5面值更大的

钞票选择，因此我们的策略是：将此刻手中的最后取出那张（第七张）1元钞票放回

未取钞票中，根据规则3，再选择一张面额为2的钞票放入手中；

此时已取钞票总额8，根据规则4，因此取出一张面额为2的钞票。

此时已取钞票总额为10元，根据规则2，停止取钞，进行判断。(11111 122)

1.我们发现手里的钞票总额为10，取法数N变为3；

2.然后我们将最后取出的那张2元钞票放回未取钞票中，根据规则3，再选择一张

面额为5的钞票放入手中；

（以此类推）

.

.

整个过程，手中钞票的变化过程如下





现有面值为1元、2元和5元的钞票（假设每种钞票都足够多），从这些钞票中取出

任意张数使其总面值为10元，问有多少种取法？N=10

以下为源码：

#include <stdio.h>
int num=0;
void zuhe(int min,int sum)
{
int i;
if(sum==10)
num++;
if(sum>10)
return;
for(i=min;i<6;)
{
if(i==1)
{
zuhe(1,sum+1);
i=2;
}
else if(i==2)
{
zuhe(2,sum+2);
i=5;
}
else
{
zuhe(5,sum+5);
i=6;
}
}
}
int main()
{
int sum=0;
int min=1;
zuhe(min,sum);
printf("%d",num);
}