poj3041

相关概念：

1.二部图：

如果图G=(V,E)的顶点集何V可分为两个集合X,Y，且满足 X∪Y = V, X∩Y=Φ，则G称为二部图；图G的边集用E(G)表示，点集用V(G)表示。（可以形象地理解为，一个图被分为两个部分，如图中红圈和黄圈部分）

下图采用graphviz绘制，语法很简单。

digraph G{
x1 -> x2
}

2.匹配：

设M是E(G)的一个子集，如果M中任意两条边在G中均不邻接，则称M是G的一个匹配。M中的—条边的两个端点叫做在M是配对的。（请注意，M是边集的子集。如图任意箭头相连的两个节点都属于匹配）

3.饱和与非饱和：

若匹配M的某条边与顶点v关联，则称M饱和顶点v，并且称v是M饱和的，否则称v是M不饱和的。（图内节点都是）

4.交互道：

若M是二分图G(V,E)的一个匹配。设从图G中的一个顶点到另一个顶点存在一条道路，这条道路是由属于M的边和不属于M的边交替出现组成的，则称这条道路为交互道。（就是走了上边走下边，也就是图中x1->y5->x4->y2->...等等，另，请忽略图中箭头，此图无向）

5.可增广道路：

若一交互道的两端点为关于M非饱和顶点时，则称这条交互道是可增广道路。显然，一条边的两端点非饱和，则这条边也是可增广道路。

6.最大匹配：

如果M是一匹配，而不存在其它匹配M'，使得|M'|>|M|，则称M是最大匹配。其中|M|表示匹配M的边数。

7.对称差：

A，B是两个集合，定义 AΔB = (A∪B)\(A∩B) 则AΔB称为A和B的对称差。



如图中红色区域。

相关定理：

定理：M为G的最大匹配的充要条件是G中不存在可增广道路。

Hall定理：对于二部图G，存在一个匹配M，使得X的所有顶点关于M饱和的充要条件是：对于X的任意一个子集A，和A邻接的点集为T(A)，恒有： |T(A)| >= |A|其中A\B表示集合A和集合B的商集，即属于A且不属于集合B的集合。

König定理：最小点覆盖=最大匹配数（这正符合本题要求，求最小点覆盖）

该定理应用比较广泛，请参见http://www.matrix67.com/blog/archives/116，matrix67的证明。

那么，本题自然转化为二分图最大匹配的问题，采用Hungary算法。

#include <iostream> using namespace std; #define MAXN 505 #define _clr(x) memset(x,0xff,sizeof(int)*MAXN) int hungary(int m, int n, int mat[][MAXN], int* match1, int* match2){ int s[MAXN], t[MAXN], p, q, ret = 0, i, j, k; for (_clr(match1), _clr(match2), i = 0; i<m; ret += (match1[i++] >= 0)) for (_clr(t), s[p = q = 0] = i; p <= q&&match1[i]<0; p++) for (k = s[p], j = 0; j<n&&match1[i]<0; j++) if (mat[k][j] && t[j]<0){ s[++q] = match2[j], t[j] = k; if (s[q]<0) for (p = j; p >= 0; j = p) match2[j] = k = t[j], p = match1[k], match1[k] = j; } return ret; } int map[MAXN][MAXN]; int main() { int n, m; while (cin >> n >> m) { memset(map, 0, sizeof(map)); for (int i = 0; i < m; i++) { int a, b; cin >> a >> b; map[a-1][b-1] = 1; } int match1[MAXN], match2[MAXN]; cout << hungary(n, n, map, match1, match2) << endl; } return 0; }