每日ACM小题--POJ1006——中国剩余定理的完美诠释 2013年11月04(附录POJ_1005水题一枚)
2013-11-04 23:46
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问题引入
在《孙子算经》中有这样一个问题:“今有物不知其数,三三数之剩二(除以3余2),五五数之剩三(除以5余3),七七数之剩二(除以7余2),问物几何?”这个问题称为“孙子问题”,该问题的一般解法国际上称为“中国剩余定理”。具体解法分三步:找出三个数:从3和5的公倍数中找出被7除余1的最小数15,从3和7的公倍数中找出被5除余1 的最小数21,最后从5和7的公倍数中找出除3余1的最小数70。用15乘以2(2为最终结果除以7的余数),用21乘以3(3为最终结果除以5的余数),同理,用70乘以2(2为最终结果除以3的余数),然后把三个乘积相加(15*2+21*3+70*2)得到和233。用233除以3,5,7三个数的最小公倍数105,得到余数23,即233%105=23。这个余数23就是符合条件的最小数。 就这么简单。我们在感叹神奇的同时不禁想知道古人是如何想到这个方法的,有什么基本的数学依据吗?我们将“孙子问题”拆分成几个简单的小问题,从零开始,试图揣测古人是如何推导出这个解法的。具体推导
首先,我们假设n1是满足除以3余2的一个数,比如2,5,8等等,也就是满足3*k+2(k>=0)的一个任意数。同样,我们假设n2是满足除以5余3的一个数,n3是满足除以7余2的一个数。 有了前面的假设,我们先从n1这个角度出发,已知n1满足除以3余2,能不能使得 n1+n2 的和仍然满足除以3余2?进而使得n1+n2+n3的和仍然满足除以3余2? 这就牵涉到一个最基本数学定理,如果有a%b=c,则有(a+kb)%b=c(k为非零整数),换句话说,如果一个除法运算的余数为c,那么被除数与k倍的除数相加(或相减)的和(差)再与除数相除,余数不变。这个是很好证明的。 以此定理为依据,如果n2是3的倍数,n1+n2就依然满足除以3余2。同理,如果n3也是3的倍数,那么n1+n2+n3的和就满足除以3余2。这是从n1的角度考虑的,再从n2,n3的角度出发,我们可推导出以下三点:为使n1+n2+n3的和满足除以3余2,n2和n3必须是3的倍数。为使n1+n2+n3的和满足除以5余3,n1和n3必须是5的倍数。为使n1+n2+n3的和满足除以7余2,n1和n2必须是7的倍数。 因此,为使n1+n2+n3的和作为“孙子问题”的一个最终解,需满足:n1除以3余2,且是5和7的公倍数。n2除以5余3,且是3和7的公倍数。n3除以7余2,且是3和5的公倍数。所以,孙子问题解法的本质是从5和7的公倍数中找一个除以3余2的数n1,从3和7的公倍数中找一个除以5余3的数n2,从3和5的公倍数中找一个除以7余2的数n3,再将三个数相加得到解。在求n1,n2,n3时又用了一个小技巧,以n1为例,并非从5和7的公倍数中直接找一个除以3余2的数,而是先找一个除以3余1的数,再乘以2。 这里又有一个数学公式,如果a%b=c,那么(a*k)%b=a%b+a%b+…+a%b=c+c+…+c=kc(k>0),也就是说,如果一个除法的余数为c,那么被除数的k倍与除数相除的余数为kc。展开式中已证明。 最后,我们还要清楚一点,n1+n2+n3只是问题的一个解,并不是最小的解。如何得到最小解?我们只需要从中最大限度的减掉掉3,5,7的公倍数105即可。道理就是前面讲过的定理“如果a%b=c,则有(a-kb)%b=c”。所以(n1+n2+n3)%105就是最终的最小解。总结
经过分析发现,中国剩余定理的孙子解法并没有什么高深的技巧,就是以下两个基本数学定理的灵活运用:如果 a%b=c , 则有 (a+kb)%b=c (k为非零整数)。如果 a%b=c,那么 (a*k)%b=kc (k为大于零的整数)。题目解法
同样,这道题的解法就是: 已知(n+d)%23=p; (n+d)%28=e; (n+d)%33=i 使33×28×a被23除余1,用33×28×8=5544; 使23×33×b被28除余1,用23×33×19=14421; 使23×28×c被33除余1,用23×28×2=1288。 因此有(5544×p+14421×e+1288×i)% lcm(23,28,33) =n+d 又23、28、33互质,即lcm(23,28,33)= 21252; 所以有n=(5544×p+14421×e+1288×i-d)%21252本题所求的是最小整数解,避免n为负,因此最后结果为n= [n+21252]% 21252那么最终求解n的表达式就是:n=(5544*p+14421*e+1288*i-d+21252)%21252;当问题被转化为一条数学式子时,你会发现它无比简单。。。。直接输出结果了。代码:
/***** 简单ACM水题 ********/ /******** written by C_Shit_Hu ************/ ////////////////POJ_1006/////////////// /****************************************************************************/ /* 中国剩余定理 */ /****************************************************************************/ #include<iostream> using namespace std; int main(void) { int p,e,i,d; int time=1; while(cin>>p>>e>>i>>d) { if(p==-1 && e==-1 && i==-1 && d==-1) break; int lcm=21252; // lcm(23,28,33) int n=(5544*p+14421*e+1288*i-d+21252)%21252; if(n==0) n=21252; cout<<"Case "<<time++<<": the next triple peak occurs in "<<n<<" days."<<endl; } return 0; }
附录:
这道题的大致意思:题目看上去很头疼,但是其实核心的内容很简单。就是一道计算半圆面积的问题。输入建造房子的坐标,计算以(0,0)为圆心,该坐标点与圆心距离为半径的半圆的面积,再除以河水每年侵蚀的面积,不足一年取为一年,求得年数。
代码如下:
#include <iostream>#include <cstdio>#include <cmath>using namespace std;const double PI=3.1415926;int main(){int n;cin>>n;for(int i=1;i<=n;i++){double x,y;cin>>x>>y;cout<<"Property "<<i<<": This property will begin eroding in year "<<ceil(PI*(x*x+y*y)/100.0)<<"."<<endl;}cout<<"END OF OUTPUT."<<endl;return 0;}【未完待续】。。。
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