希尔排序&选择排序&时间复杂度分析

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>

void shellsort(char array[],int len);
void selectsort(char array[],int len);

void swap(char *a,char *b)
{
*a ^= *b;
*b ^= *a;
*a ^= *b;
}//好多傻逼面试都考这种写法，岂不知这种写法在a，b是一个数时有bug：假设a=6，a=a^a=(0b110)^(0b110)=0,a=a^a=(0b000)^(0b000)=0,a=a^a=0(同上)
//或者

void swap1(char *a,char *b)
{
*a += *b;
*b -= *a;
*a -= *b;
}//a=2a;a=a;a=0 bug一样存在
//所以多写一个temp不会死，并不是什么都能优化的

main()
{
char c;
int i=0,len=0;
int test=6;
char array[100];
memset(array,0,100);
while((c=fgetc(stdin))!=EOF)//&&c!='\n')
{
len++;
array[i++]=c;
}
//	shellsort(array,len);
selectsort(array,len);
for(i=0;i<len;i++)
fputc(array[i],stdout);
//swap(&test,&test);
swap1(&test,&test);
printf("\n%d",test);
}

void shellsort(char array[],int len)
{
int gap,i,j;
for(gap=len/2;gap>0;gap/=2)//3,3,4,1,4
{
for(i=gap;i<len;i++)//插入排序的一种简洁写法，好像是算法导论上的
{
for(j=i-gap;array[j+gap]<array[j]&&j>=0;j-=gap)
{
swap(&array[j+gap],&array[j]);
}
}
}
}
void selectsort(char array[],int len)
{
int i,j,min;
for(i=0;i<len;i++)
{
min=i;
for(j=i+1;j<len;j++)
{
if(array[j]<array[min])
{
min=j;
}
}
if(min!=i)
{
swap(&array[i],&array[min]);
}
}
}
//选择排序时间复杂度分析：最好最坏情况最内层的循环平均执行N/2次（必须比较j和min处元素的值），外层循环执行N次，所以复杂度O(N^2)

下面说一说时间复杂度的分析方法：

这里把算法分为分治和非分治两种情况

1.非分治直接分析执行最多的代码次数，没有统一分析方法

以希尔排序为例子

这里分析原始的希尔排序，初始步长d=n/2，下一次步长d=d/2

第一次比较次数：1*n/2

第二次比较次数：最坏(1+2+3)*n/4

第三次比较次数：最坏(1+2+3+……+7)*n/8

......



2.分治有一种主定理方法

首先明确几个问题

A.f(n)=O(g(n))符号的定义：存在常量N和c，对于任意的n>N，0<=f(n)<=cg(n)

如：n^2=O(2 n^2)

说白了就是f一定是小于等于g或者大于g但是是和g同一个级别的无穷大量

若f(n)=O(g(n))则g=W(f)

B.f(n)=o(g(n))符号的定义：对于任意的c，存在常量N，对于任意的n>N，0<=f(n)<cg(n)其实这个g就是工科数学里面的相对于f的高阶无穷大

如：2n=o(n^2)

若f(n)=o(g(n))则g=w(f)     （omega打不出来只能用w了，抱歉）

C.主定理：

若T（n）=aT（n/b）+f（n），即规模为n的算法所用时间可以分治为a个规模n/b的同样问题加上一个f（n）

则有以下三个结论：

c1：f==O(n^（logb（a）-e）)则T=O-n^（logb（a）

c2：f==O-(n^（logb（a））)则T=O-n^（logb（a）*log2（n）

c3：f==W(n^（logb（a）+e）)则T=O-f原文中后面关于f那一坨基本上都满足

f=O里面有一横（g）表示同阶无穷大，定义为存在N，c1，c2，n>N时，c1*g<=f<=c2*g，夹逼定理

ps:图中那个x是不知道哪冒出来的



现在可以分析算法了，以快速排序为例子

最好情况下：均衡分治（为什么最好？别问我，看结果就知道，基于比较的比较次数都是W（nlog2（n））(证明见算法导论，利用决策树)）
T(n)=2T(n/2)+O(n)
主定理情况2
所以最好T=O(nlog2（n）)

注意O被O包含

最坏情况下：最不均衡分治（为什么？不知道）
T(n)=T(1)+T(n-1)+O(n)

T=n^2
次次都最不均衡则每次快排执行n步只确定一个元素的位置，确定n个需要n^2次