数据结构之 最短路径

Dijkstra（迪杰斯特拉）算法是典型的最短路径路由算法，用于计算一个节点到其他所有节点的最短路径。主要特点是以起始点为中心向外层层扩展，直到扩展到终点为止。Dijkstra算法能得出最短路径的最优解，但由于它遍历计算的节点很多，所以效率低。

Dijkstra算法是很有代表性的最短路径算法，在很多专业课程中都作为基本内容有详细的介绍，比如数据结构、图论、运筹学等。



1、算法思想

令G = （V，E）为一个带权有向图，把图中的顶点集合V分成两组，第一组为已求出最短路径的顶点集合S（初始时S中只有源节点，以后每求得一条最短路径，就将它对应的顶点加入到集合S中，直到全部顶点都加入到S中）；第二组是未确定最短路径的顶点集合U。在加入过程中，总保持从源节点v到S中各顶点的最短路径长度不大于从源节点v到U中任何顶点的最短路径长度。



2、算法步骤

（1）初始化时，S只含有源节点；

（2）从U中选取一个距离v最小的顶点k加入S中（该选定的距离就是v到k的最短路径长度）；

（3）以k为新考虑的中间点，修改U中各顶点的距离；若从源节点v到顶点u的距离（经过顶点k）比原来距离（不经过顶点k）短，则修改顶点u的距离值，修改后的距离值是顶点k的距离加上k到u的距离；

（4）重复步骤（2）和（3），直到所有顶点都包含在S中。

具体图例与算法执行步骤：（就从A开始，到各节点的最短路径）。




具体执行步骤如下图所示。




PS：图片右下角是原作者的博客地址。



3、算法具体实现

算法的具体实现如下所示。

#include "stdio.h"

#include "stdlib.h"

#include "io.h"

#include "math.h"

#include "time.h"

#define OK 1

#define ERROR 0

#define TRUE 1

#define FALSE 0

#define MAXEDgE 20

#define MAXVEX 20

#define INFINITY 65535

typedef int Status; /* Status是函数的类型,其值是函数结果状态代码，如OK等 */

typedef struct

{

int vexs[MAXVEX];

int arc[MAXVEX][MAXVEX];

int numVertexes, numEdges;

}Mgraph;

typedef int Patharc[MAXVEX]; /* 用于存储最短路径下标的数组 */

typedef int ShortPathTable[MAXVEX]; /* 用于存储到各点最短路径的权值和 */

void CreateMgraph(Mgraph *g)

{

int i, j;

/* printf("请输入边数和顶点数:"); */

g->numEdges=16;

g->numVertexes=9;

for (i = 0; i < g->numVertexes; i++)/* 初始化图 */

{

g->vexs[i]=i;

}

for (i = 0; i < g->numVertexes; i++)/* 初始化图 */

{

for ( j = 0; j < g->numVertexes; j++)

{

if (i==j)

g->arc[i][j]=0;

else

g->arc[i][j] = g->arc[j][i] = INFINITY;

}

}

g->arc[0][1]=1;

g->arc[0][2]=5;

g->arc[1][2]=3;

g->arc[1][3]=7;

g->arc[1][4]=5;

g->arc[2][4]=1;

g->arc[2][5]=7;

g->arc[3][4]=2;

g->arc[3][6]=3;

g->arc[4][5]=3;

g->arc[4][6]=6;

g->arc[4][7]=9;

g->arc[5][7]=5;

g->arc[6][7]=2;

g->arc[6][8]=7;

g->arc[7][8]=4;

for(i = 0; i < g->numVertexes; i++)

{

for(j = i; j < g->numVertexes; j++)

{

g->arc[j][i] =g->arc[i][j];

}

}

}

/* Dijkstra算法，求有向网g的v0顶点到其余顶点v的最短路径P[v]及带权长度D[v] */

/* P[v]的值为前驱顶点下标,D[v]表示v0到v的最短路径长度和 */

void ShortestPath_Dijkstra(Mgraph g, int v0, Patharc *P, ShortPathTable *D)

{

int v,w,k,min;

int final[MAXVEX]; /* final[w]=1表示求得顶点v0至vw的最短路径 */



/* 初始化数据 */

for(v=0; v<g.numVertexes; v++)

{

final[v] = 0; /* 全部顶点初始化为未知最短路径状态 */

(*D)[v] = g.arc[v0][v]; /* 将与v0点有连线的顶点加上权值 */

(*P)[v] = 0; /* 初始化路径数组P为0 */

}

(*D)[v0] = 0; /* v0至v0路径为0 */

final[v0] = 1; /* v0至v0不需要求路径 */



/* 开始主循环，每次求得v0到某个v顶点的最短路径 */

for(v=1; v<g.numVertexes; v++)

{

min=INFINITY; /* 当前所知离v0顶点的最近距离 */

for(w=0; w<g.numVertexes; w++) /* 寻找离v0最近的顶点 */

{

if(!final[w] && (*D)[w]<min)

{

k=w;

min = (*D)[w]; /* w顶点离v0顶点更近 */

}

}

final[k] = 1; /* 将目前找到的最近的顶点置为1 */

/* 修正当前最短路径及距离 */

for(w=0; w<g.numVertexes; w++)

{

/* 如果经过v顶点的路径比现在这条路径的长度短的话 */

if(!final[w] && (min+g.arc[k][w]<(*D)[w]))

{

/* 说明找到了更短的路径，修改D[w]和P[w] */

(*D)[w] = min + g.arc[k][w]; /* 修改当前路径长度 */

(*P)[w]=k;

}

}

}

}

int main(void)

{

int i,j,v0;

Mgraph g;

Patharc P;

ShortPathTable D; /* 求某点到其余各点的最短路径 */

v0=0;



CreateMgraph(&g);



ShortestPath_Dijkstra(g, v0, &P, &D);

printf("最短路径倒序如下:\n");

for(i=1;i<g.numVertexes;++i)

{

printf("v%d - v%d : ",v0,i);

j=i;

while(P[j]!=0)

{

printf("%d ",P[j]);

j=P[j];

}

printf("\n");

}

printf("\n源点到各顶点的最短路径长度为:\n");

for(i=1;i<g.numVertexes;++i)

printf("v%d - v%d : %d \n",g.vexs[0],g.vexs[i],D[i]);

return 0;

}