poj 2942 Knights of the Round Table(点双连通分量+二分图判定)

题目链接：http://poj.org/problem?id=2942

题意：n个骑士要举行圆桌会议，但是有些骑士相互仇视，必须满足以下两个条件才能举行：

（1）任何两个互相仇视的骑士不能相邻，每个骑士有两个相邻的骑士（即如果只有一个骑士，则不能举行会议）

（2）圆桌会议坐下的骑士数量必须为奇数个

有一张名单列出m个相互仇视的骑士，如果遵守以上两个规则，可能是某些骑士不可能被安排坐下，一种情况是一个骑士仇视所有其他的骑士。如果一个骑士不可能被安排坐下，则将他从骑士名单中剔除，问有多少个骑士会被剔除掉。

1<=n<=100,1<=m<=1000000

分析：题目上好像是说所有不被剔除的骑士都要参加圆桌会议，我严重怀疑这道题的题意是不是不明确，要不然就是poj的数据有问题。所以我将这题的题意理解为：不一定要所有不被剔除的骑士都要参加圆桌会议，只需其中的一部分就行了，这样有些数据就能解释为什么了。

将骑士看成顶点，不互相仇视的骑士连边，建无向图，即建反图。构造无向图之后，先按要求（1），将所有能坐在一起的骑士分为一组，全部骑士分为若干组，每一组在图中是一个双连通分量。注意，这里我们要求的是点双连通分量，是点双，不是边双。为什么呢？因为我们是要剔除掉骑士，而骑士就是一个顶点了，并不是剔除掉仇恨关系，所以是点双。

每一个双连通分量就是一个环了，但是这只是找到了环，而题目要求的是顶点数为奇数的环，即奇圈。

那么怎么判断奇圈呢？这里有两个定理：

（1）如果一个双连通分量中存在一个奇圈，那么该双连通分量内的所有顶点都处在某个奇圈内。

在一个双连通分量中，必定存在一个圈经过该连通分量的所有节点，如果这个圈是奇圈，则该连通分量内所有的点都满足条件；若这个圈是偶圈，如果包含奇圈，则必定有另一个奇圈经过由剩下的点或该奇圈内至少2个点及其边构成的环。

（2）一个双连通分量含有奇圈当且仅当它不是一个二分图。

直观的想，对于一个二分图，从一个点出发要回到一个点显然要经过偶数个节点，所以肯定不存在奇圈。

所以判断一个双连通分量是否含有奇圈，只需判断该双连通分量是否是二分图就行了，而判二分图可以用交叉染色法。

交叉染色法就是在DFS过程中反复交换着用两种不同的颜色对未染色过的点染色，若某次DFS中当前点的子节点和当前节点同色，则找到奇圈。

想象一下二分图就像是河的两岸有两排节点，没染色一次就过河一次，那么相同颜色的节点必定在同一侧。一旦出现异侧有相同颜色的节点，就说明该图不是二分图了。

总结一下：首先求出图的补图，然后把点双连通分量找出，对于每个双连通分量判断是否为二分图，如果不是则将分量重的所有点标记，统计一下标记过的顶点个数ans，最后结果就是n-ans。

AC代码：

#include<cstdio>
#include<cstring>
const int N=1000+5;
struct EDGE{
int v,next;
}edge[N*N*2];
int g,cnt,top,count,n,m;
int first
,low
,dfn
,sta[N*N*2],sm
,map

,color
,part
,mark
;
int min(int a,int b)
{
return a<b?a:b;
}
void AddEdge(int u,int v)     //建边
{
edge[g].v=v;
edge[g].next=first[u];
first[u]=g++;
}
int dfscol(int u,int col)   //交叉染色法
{
int i,v;
color[u]=col;
for(i=first[u];i!=-1;i=edge[i].next)
{
v=edge[i].v;
if(!part[v])
continue;
if(color[v]==col)
return 1;
if(color[v]==0&&dfscol(v,-col))
return 1;
}
return 0;
}
void color_solve()        //二分判定
{
int i;
memset(part,0,sizeof(part));
for(i=0;i<count;i++)
part[sm[i]]=1;
memset(color,0,sizeof(color));
if(dfscol(sm[0],1))      //若含有奇圈
{
for(i=0;i<count;i++)
mark[sm[i]]=1;
}
}
void Tarjan(int u,int fa)    //求双连通分量
{
int i,v;
low[u]=dfn[u]=++cnt;
sta[top++]=u;
for(i=first[u];i!=-1;i=edge[i].next)
{
v=edge[i].v;
if(i==(fa^1))
continue;
if(!dfn[v])
{
Tarjan(v,i);
low[u]=min(low[u],low[v]);
if(low[v]>=dfn[u])
{
count=0;          //将双连通分量记录起来。。刚开始这部分写错了，wa到死
sm[count++]=u;
sta[top]=-1;
while(sta[top]!=v)     //注意割点属于多个双连通分量，所以要弹到v，u不能弹出去
{
sm[count++]=sta[--top];
}
color_solve();     //判断该双连通分量是否为二分图
}
}
else
low[u]=min(low[u],dfn[v]);
}
}
void solve()
{
int i,j,u,v;
g=cnt=top=0;                 //初始化
memset(low,0,sizeof(low));
memset(dfn,0,sizeof(dfn));
memset(first,-1,sizeof(first));
memset(map,0,sizeof(map));
memset(mark,0,sizeof(mark));

for(i=0;i<m;i++)
{
scanf("%d%d",&u,&v);
map[u][v]=map[v][u]=1;
}
for(i=1;i<=n;i++)         //建反图
for(j=i+1;j<=n;j++)
{
if(!map[i][j])
{
AddEdge(i,j);
AddEdge(j,i);
}
}
for(i=1;i<=n;i++)        //求双连通分量
if(!dfn[i])
Tarjan(i,-1);

int ans=0;
for(i=1;i<=n;i++)       //统计已标记的顶点数
if(mark[i])
ans++;
printf("%d\n",n-ans);
}
int main()
{
while(scanf("%d%d",&n,&m))
{
if(n==0&&m==0)
break;
solve();
}
return 0;
}

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