五大常用算法之分治法

五大常用算法之
分治法

分治法的设计思想是，将一个难以直接解决的大问题，分割成一些规模较小的相同问题，以便各个击破，分而治之。
   
分治策略是：对于一个规模为n的问题，若该问题可以容易地解决（比如说规模n较小）则直接解决，否则将其分解为k个规模较小的子问题，这些子问题互相独立且与原问题形式相同，递归地解这些子问题，然后将各子问题的解合并得到原问题的解。这种算法设计策略叫做分治法。
   
分治法所能解决的问题一般具有以下几个特征：
    1)
该问题的规模缩小到一定的程度就可以容易地解决
    2)
该问题可以分解为若干个规模较小的相同问题，即该问题具有最优子结构性质。
    3)
利用该问题分解出的子问题的解可以合并为该问题的解；
    4)
该问题所分解出的各个子问题是相互独立的，即子问题之间不包含公共的子子问题。
   
上述的第一条特征是绝大多数问题都可以满足的，因为问题的计算复杂性一般是随着问题规模的增加而增加；第二条特征是应用分治法的前提它也是大多数问题可以满足的，此特征反映了递归思想的应用；第三条特征是关键，能否利用分治法完全取决于问题是否具有第三条特征，如果具备了第一条和第二条特征，而不具备第三条特征，则可以考虑用贪心法或动态规划法。第四条特征涉及到分治法的效率，如果各子问题是不独立的则分治法要做许多不必要的工作，重复地解公共的子问题，此时虽然可用分治法，但一般用动态规划法较好。
   
分治法的基本步骤
   
分治法在每一层递归上都有三个步骤：
   
分解：将原问题分解为若干个规模较小，相互独立，与原问题形式相同的子问题；
   
解决：若子问题规模较小而容易被解决则直接解，否则递归地解各个子问题
   
合并：将各个子问题的解合并为原问题的解。