任意给定一个正整数N,求一个最小的正整数M(M>1),使得N*M的十进制表示形式里只含有1和0。
2013-09-18 19:15
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题目:任意给定一个正整数N,求一个最小的正整数M(M>1),使得N*M的十进制表示形式里只含有1和0。
解法一:暴力求解。从1开始查找M,然后判断M*N=X这个数字是否只含有0,1.
解法二:由于没有直接的数学方法能帮我们直接得到M的值,所以我们只能进行搜索。由于相对M,乘积N*M具有明显的特征,需要搜索的空间要小很多,所以我们对乘积N*M进行搜索。如果N*M的结果有K位,则要循环2^K次,我们发现K的结果能轻易超过40,所以这个运行时间还是相当长。同余运算具有等价关系,mod N = i(0<=i<N)构成了N个等价类,将正整数集进行划分。对于每个等价类,我们只需要判断其中最小的元素加上10^K是否能被N整除,这样搜索空间就从2^K次减少到(K-1)*N步,而N的值一般要远远小于M的值,但要O(N)的空间复杂度。
由于无论M还是N*M的位数都相当大,所以我们用大整数表示M和N*M。由于要N个大整数,所以N不能为大整数,即其值最好取一百万以内。
代码实现入下:
我们可以证明对于任意的N,一定存在M,使得N*M的乘积的十进制表示只有0和1。证明过程见:http://blog.csdn.net/jcwkyl/article/details/3859155
解法一:暴力求解。从1开始查找M,然后判断M*N=X这个数字是否只含有0,1.
解法二:由于没有直接的数学方法能帮我们直接得到M的值,所以我们只能进行搜索。由于相对M,乘积N*M具有明显的特征,需要搜索的空间要小很多,所以我们对乘积N*M进行搜索。如果N*M的结果有K位,则要循环2^K次,我们发现K的结果能轻易超过40,所以这个运行时间还是相当长。同余运算具有等价关系,mod N = i(0<=i<N)构成了N个等价类,将正整数集进行划分。对于每个等价类,我们只需要判断其中最小的元素加上10^K是否能被N整除,这样搜索空间就从2^K次减少到(K-1)*N步,而N的值一般要远远小于M的值,但要O(N)的空间复杂度。
由于无论M还是N*M的位数都相当大,所以我们用大整数表示M和N*M。由于要N个大整数,所以N不能为大整数,即其值最好取一百万以内。
代码实现入下:
#include<iostream> #include<cmath> #include<vector> using namespace std; bool FindNumber(int N,vector<int> *BigInt); int main() { int N,i; cout<<"Input a positive integer: "; cin>>N; vector<int> *BigInt=new vector<int> ;//用来存放余数为0 ~ N最小数字,数字表示,如整数1001,则存为1001=10^0+10^3=(0,3),适合大数的表示 for(i=0;i<N;i++) BigInt[i].clear(); bool found=FindNumber(N,BigInt); if(found) { int len=BigInt[0][BigInt[0].size()-1]+1; char *product=new char[len+1]; int product2=0; for(i=0;i<len;i++) product[i]='0'; product[len]='\0'; vector<int>::iterator iter; for(iter=BigInt[0].begin();iter!=BigInt[0].end();iter++) { product2=product2+pow(10,*iter); product[*iter]='1'; } int j=len-1; i=0; while(i<j) { char tmp=product[j]; product[j]=product[i]; product[i]=tmp; i++; j--; } int M=product2/N; //product和product2都对应着乘积结果,但是product2对应着整型,乘积过大时,product2可能不会得到正确的结果; //product对应着乘积的字符串,可以表示大数的乘积结果,M为product2/N,即为要求的数,当product2溢出时,不是正确的结果, //那种情况下,需要用product/N,其中product为乘积的字符串表示,这里没有求解,读者可以自行解决。 cout<<N<<" * "<<M<<" = "<<product<<" , "<<product2<<endl; delete []product; } else cout<<"Can not find M!"<<endl; delete []BigInt; return 0; } bool FindNumber(int N,vector<int> *BigInt) { int i,j,k; BigInt[1].push_back(0); int NoUpdate=0; for(i=1,j=10%N; ; i++,j=(j*10)%N) { bool flag=false; if(BigInt[j].size()==0) { flag=true; // BigInt[j]=10^i,(10^i)%N=j BigInt[j].clear(); BigInt[j].push_back(i); } for(k=1;k<N;k++) { //有新的余数出现 if((BigInt[k].size()>0)&&(i>BigInt[k][BigInt[k].size()-1]) &&(BigInt[(k+j)%N].size()==0)) { //BigInt[(k+j)%N]=10^i+BigInt[k] flag=true; BigInt[(k+j)%N]=BigInt[k]; BigInt[(k+j)%N].push_back(i); } } if(flag==false) NoUpdate++; else NoUpdate=0; //如果经过一个循环节都没能对BigInt进行更新,就是无解,跳出, //若有N次没更新过余数信息,则存在c>=0,10^(c+1)modN,...,10^(c+N)modN中必有两个是相等的, //那么继续进行下去也不会再更新了 //或者BigInt[0]!=NULL,已经找到解,也跳出. if(NoUpdate==N||BigInt[0].size()>0)//若有N次没更新过余数信息,则存在c>=0,10^(c+1)modN,...,10^(c+N)modN中必有两个是相等的,那么继续进行下去也不会再更新了 break; } if(BigInt[0].size()==0) return false; else return true; }
我们可以证明对于任意的N,一定存在M,使得N*M的乘积的十进制表示只有0和1。证明过程见:http://blog.csdn.net/jcwkyl/article/details/3859155
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