poj 2125 最小割解决 "最小点权覆盖问题" +输出解(割边集)

题意：给你一幅有向图， 对于点i删除所有进入该点的边就要支付费用W[i]+(情况1)， 删除所有从该点出发的边就要支付费用W[i]-，问删除图中的所有边至少需要多少费用(情况2)。

分析：首先我们根据题意，选点就能删除一些边， 那么这可以看成是“用点去覆盖边”， 这里无非是把边分成了2类，

我们可以把原来的点进行拆点，那么就完完全全等价于“用点去覆盖边"，如果支付费用都为1，那么这就是”最小点覆盖集“问题，但这题费用不确定，那么这就是“最小点权覆盖集”问题， 借助二分匹配的思想，我们可以引入“最小割”来解决“最小点权覆盖”问题。

建图：拆点，左点阵为情况2的点， 右点阵为情况1的点，右点阵跟汇点T连流量为W+，左点阵跟源点S连费用为W-，

对于输入的边<u, v> 连边 (u, v+n)费用为无穷大inf。跑一边最大流，求出最小费用。

输出解：最要我们找到一个满足条件的割边集(注意不是所有割边， 因为有一条流已经经过了一条割边，那么下面一条割边就不用选了，这样费用才是最小的)，那么就能输出解了。怎么找出割边呢?我们可以在残余网络里走流，如果有一条边是割边，那么之后就流不过去了，不是割边还能继续流，具体实现我们可以从源点S用dfs搜出能走到的点标记vis[]
=1，

那么对于边<u,v> 只要 vis[u] = 1 && vis[v] = 0 那就是割边了。

总结：二分匹配的题都可以用最大流来解，在二分图中 有 “最小点覆盖集”和“最打独立集”，如果有了点权，那么就要用最大流(最小割)来解决 “最小点权覆盖集”(最小割)和“最大点权独立集”(最大流)问题。

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int maxn = 206;
const int maxm = 10404;
const int inf = 1e9;
int n, m, N, S, T;
struct Edge {
int v, c, next;
Edge(int v, int c, int next) :
v(v), c(c), next(next) {
}
Edge() {
}
} edge[maxm];
int head[maxn], E;
void add(int s, int t, int c) {
edge[E] = Edge(t, c, head[s]);
head[s] = E++;
edge[E] = Edge(s, 0, head[t]);
head[t] = E++;
}
void init() {
memset(head, -1, sizeof(head));
E = 0;
}
int gap[maxn], dis[maxn], pre[maxn], cur[maxn];
int sap(int s, int t, int n) // s 源点，t汇点，n顶点总数
{
int i;
for(i = 0; i <= n; i++) {
dis[i] = gap[i] = 0;
cur[i] = head[i];
}
gap[0] = n;
int u = pre[s] = s, maxf = 0, aug = inf, v;
while(dis[s] < n) {
loop: for(i = cur[u]; ~i; i = edge[i].next) {
v = edge[i].v;
if(edge[i].c  && dis[u] == dis[v] + 1) {
aug = min(aug, edge[i].c);
pre[v] = u;
cur[u] = i;
u = v;
if(u == t) {
while(u != s) {
u = pre[u];
edge[cur[u]].c -= aug;
edge[cur[u] ^ 1].c += aug;
}
maxf += aug;
aug = inf;
}
goto loop;
}
}
int d = n;
for(i = head[u]; ~i; i = edge[i].next) {
v = edge[i].v;
if(edge[i].c && dis[v] < d) {
d = dis[v];
cur[u] = i;
}
}
if(!(--gap[dis[u]]))
break;
++gap[dis[u] = d + 1];
u = pre[u];
}
return maxf;
}
bool vis[maxn];
void dfs(int u) {
vis[u] = 1;
for(int i = head[u]; ~i; i = edge[i].next) {
int v = edge[i].v;
if(!vis[v] && edge[i].c)
dfs(v);
}
}
int cnt, res[maxn];
void debug() {
int i;
for(i = head[7];  ~i; i = edge[i].next)
printf("v = %d\n", edge[i].v);
}
int main() {
int i;
while(~scanf("%d%d", &n, &m)) {
N = n << 1;
init();
S = 0;
T = N+1;
int x, y;
for(i = 1; i <= n; i++) {
scanf("%d", &x);
add(i+n, T, x);
}
for(i = 1; i <= n; i++) {
scanf("%d", &x);
add(S, i, x);
}
while(m--) {
scanf("%d%d", &x, &y);
add(x, y + n, inf);
}
printf("%d\n", sap(S, T, T+1));

//dfs
memset(vis, 0, sizeof(vis));
dfs(S);
//枚举所有可能是割边的边  (与S或与T连的边)
cnt = 0;
for(i = head[S]; ~i; i = edge[i].next) {
int v = edge[i].v;

if(vis[S] && !vis[v]) res[cnt++] = v;
}
for(i = head[T]; ~i; i = edge[i].next) {
int v = edge[i].v;
if(vis[v] && !vis[T]) res[cnt++] = v;
}
printf("%d\n", cnt);
for(i = 0; i < cnt; i++)
if(res[i] <= n) printf("%d -\n", res[i]);
else printf("%d +\n", res[i]-n);
}
return 0;
}