关系代数中的除法--概念的理解

关系代数中的除法

这部分为什么单独拿出来？

因为这里涉及到新概念的学习、理解问题；而我理解起来比较困难，证明这部分有缺陷。需要正确地面对问题，相信解决好这个问题，会有一个质的提高。

到网上按主题搜索多个资料，然后进行整理，归纳，比较。

也是经验的积累与消化的过程。

理解概念非常重要的，是认识基本规律，学习能力，认知能力等集中体现，是高层次的智力活动。也是一般学生与高才生的重要区别之一。

理解元组的概念--理解元组的笛卡尔积---理解投影---理解元组的减法。

（元组的加减乘除与代数的加减乘除进行比较）

适当抽象成现实意义.

注意循序渐进，实践，进步

如何理解高度抽象的数学概念

秘诀一：体会Motivation.要问一下为什么要有这样的概念，这样你可以得到一些处理这类概念的线索，不至于愣头愣脑的撞进去。就category而言，它的Motivation主要有两个，一是避免集合论悖论，比如所有的群不构成集合，但说成Group Category就没问题了；二是可有同时刻画“点”与“射”，抽象之后得到object与morphism.

秘诀二：分清Level.其实，这对于理解所有的概念都适用，不然头脑中就就可能变得乱糟糟一团。然而，对于一些简单的概念，大脑可以自动完成了这个工作，若是概念比较复杂，那么就得有意品味才能理解得清晰深刻。以scheme为例，ring→spectrum→ringed space（sheaf）→affine scheme→scheme这条线索是非常适用的。

秘诀三：寻找Model.要理解高度抽象的概念，找一些example是非常必要的，但更加受用则是Model.如果一个example是我们所熟知的，既能够体现概念的主题（非平凡），又没有繁杂的枝节干扰，那么它就可以作为一个理想的Model.比如对于category而言，不涉及对偶是可以用Set Category作为Model，涉及对偶的话不妨升级用Group Category.此外，Model并不限于example，也包括一些平行概念，比如理解scheme时不妨用manifold作为Model.

秘诀四：留意Application.高度抽象的概念往往是自包含的，需要一定推论转化后才能使用，假若对此不加注意，那么就算是理解了一点也是死水一潭。即使后面专门学了应用，弄不好也是前后脱节，有用的找不到道理，有道理的发挥不了用处。就category而言，它的一个应用是morphism的去对象化，也就是说讨论morphism的时候不借助object，要证明f∈Hom(A,B)是双射，就直接找g∈Hom(B,A),使得fg=1B且gf=1A.

上述的MLMA就是破解抽象概念的常用秘诀，这里我希望各位同学能够从源头上理清思路，而不是遇到困难后再痛苦的走回头路。如果能够从一开始就打出一块高地的话，后面的学习便会信心百倍势如破竹，学起来自然是轻松愉快的了。

希腊著名寓言家伊索曾经说道“熟悉能减除对于事物的恐惧“。

我们知道数学是以抽象的形式反映着客观世界，但这种抽象根植于客观的现实世界, 有着深刻的现实背景绝不是数学家刻意创造的空中楼阁。它体现着人类的活动，它的产生、发展过程凝聚着人类思维活动的结晶，其过程是生动、活泼、有趣的绝非形容枯稿、无血无肉的“形式化僵尸”。因此我们的数学教学要根植于生活、联系现实，通过丰富多彩的生活现象来解释复杂的数学现象，以深入浅出的方式让学生理解数学概念实质。

数学概念具有抽象性和具体性的双重特点

数学概念具有抽象性和具体性的双重特点，弄清楚概念的内涵和外延是正确思维的必要条件，也是判断、推理的基础，各种思维要素的合理使用，往往都脱离不开基本的数学概念，学好数学，一定要养成深抠概念的好习惯，把概念理解得生动、形象、具体、深入浅出。为达此目的，应强调学习数学概念“九要”：

　　1.复杂概念要突出“关键词语”，如“映射”这个重要概念要抓住方向性：“从集合A到集合B”，同时还要抓住“任一”对应“唯一”。

　　2.相应概念容易混淆，要注意类比，如排列与组合的差异是“序”，“截距”和“距离”的区别是“向”;二面角是图形，二面角的平面角是一个角。

　　3.正反结合揭示概念的本质。如函数、反函数的概念，曲线和方程的概念，只有做两面思考，才能深入体会。再如反三角函数概念，实际上就是在指定单调区间上的三角函数与其反函数的关系。

　　4.要注意概念的引入过程。如立体几何的任何一个概念的引入都有丰富的直观背景;排列组合问题用“对号入座法”或画树图都是在告诉我们如何思考，规律是怎样找到的。等差、等比数列前n项和公式的推导过程告诉我们“倒写求和法”和“错位相消法”。

　　5.掌握新概念要注意温故知新。如充要条件是非常重要的数学概念，它只有在理解掌握四个命题的基础上，深入研究命题之间的相互关系，顺理成章把认识升华，树立起等价思想，才能学会用充要条件分析、认识、处理数学问题。简易逻辑关系是数学基础的一个“魂”。

　　6.巩固和运用数学概念，特别是在运算、推理、选择、证明中，要注意自觉地让概念发生作用。如证函数的单调性、奇偶性、周期性，证明一个数列是等差(比)数列，用的方法都是“定义法”;解数学选择题经常通过“概念判断”否掉一些选项;学习好立体几何的标志是空间概念的形成。同学们一定要走出“学数学就是解题”的误区，掌握好“四基”：基本概念、基本运算、基本方法、基本应用，才是扎扎实实打基础。

　　7.概念的抽象性是逐步加深、连续发展的，要抓住这一特点，不断深化自己对概念的理解，如平面几何中用两点间距离定义点到直线的距离，平行线间的距离，进而得到立体几何中的一大难点——异面直线的距离，对距离的认识一般化了，若把向量复数的模及解析几何中和距离有关的轨迹问题也纳入自己的认知范畴，则距离就“活”起来了。再如函数概念从具体的正比例函数、一次函数入手，逐步上升到一般的数值函数概念;从“变量之间的相互关系”，到两个集合间的“映射”，函数概念有层次地一次又一次地抽象，开始接近现代函数概念(只是开始接近，我们掌握的函数“三要素”并没有完全反映函数的本质特征)，同学们学习了概率和微积分后，会感到随处定义和单值对应更能反映函数的本质特征。

　　8.较难概念要逐步剖析，力求抽象问题具体化。如画树图，从两个圆的位置关系容易理解子集、交集、并集、补集、全集;简易逻辑“或”“且”“非”也容易从中找到答案。认识变量、掌握函数特点、掌握研究函数的方法，数形结合，立即化难为易。

　　9.要注意发挥概念体系的整体功能。如函数是高中数学的纲，对函数的理解应用水平是学习高中数学成败的关键;对“曲线与方程”五个字的双向理解则抓住了全部解析几何的精髓。函数与方程的思想，数形结合思想，分类思想，化归或变换转化的思想是驾驭数学知识的灵魂，充分发挥这些概念体系的整体功能，就真正做到了大处着眼，学习效果会倍增。