每日一题(81) - 子数组之和的最大值(二维) - 最大子矩阵和

题目：给出一个 m*n 的二维矩阵(元素可为正可为负)，求该二维矩阵的一个子矩阵，且此子矩阵中所有元素的和最大，并输出该矩阵的和。

举例(1)

给出4*4的二维矩阵：

0 -2 -7 0

9 2 -6 2

-4 1 -4 1

-1 8 0 -2

和最大的子矩阵为：

9 2

-4 1

-1 8

此子矩阵元素的和为15。

举例(2)

给出3*4的二维矩阵：

-1 -2 -3 -4

-5 -6 -7 -8

-9 -10 -11 -12

和最大的子矩阵为：

-1

此子矩阵元素的和为-1。

思路:枚举矩阵，把子矩阵转化为一行，利用最大子数组和的方法求解

方法：

假设f(i,j)表示以第i行开始，到第j行结束的矩阵中子矩阵的最大和

为了求f(i,j),我们对这个矩阵(第i行开始，到第j行结束的矩阵)进行处理：

(1)把这个矩阵中的每一列数相加,最后形成一个一维数组，其长度等于原二维数组列的个数。

(2)在该一维数组上，求解最大子数组和。

代码：求解最大子矩阵和

#include <iostream>
#include <assert.h>
using namespace std;
/*最大子数组之和*/
int MaxSubSum(int nArr[],int nLen)
{
	assert(nArr && nLen > 0);
	int nMaxSum = nArr[0];
	int nCurSum = nArr[0];
	for (int i = 1;i < nLen;i++)
	{
		if (nCurSum < 0)
		{
			nCurSum = nArr[i];
		}
		else
		{
			nCurSum += nArr[i];
		}
		nMaxSum = max(nCurSum,nMaxSum);
	}
	return nMaxSum;
}
/*把原矩阵第i行和第j行之间元素进行压缩，形成一个一维数组*/
void GetColSum(int** pnArr,int* pTmpArr,int nXLen,int nYLen,int nStartRow,int nEndRow)
{
	assert(pnArr && *pnArr && pTmpArr && nXLen > 0 && nYLen > 0);
	assert(nStartRow >=0 && nStartRow < nXLen);
	assert(nEndRow >=0 && nEndRow < nYLen);
	memset(pTmpArr,0,sizeof(int) * nYLen);
	for (int j = 0;j < nYLen;j++)
	{
		for (int i = nStartRow;i <= nEndRow;i++)
		{
			pTmpArr[j] += pnArr[i][j];
		}
	}
}
/*枚举二维数组，压缩成一维数组，求解最大子数组和*/
int MaxSubMatrixSum(int** pnArr,int nXLen,int nYLen)
{
	assert(pnArr && *pnArr && nXLen > 0 && nYLen > 0);
	int nMaxSum = -0x3f3f3f3f;
	int* pTmpArr = new int[nYLen];
	int nCurSum = -0x3f3f3f3f;
	for (int i = 0;i < nXLen;i++)
	{
		for (int j = i;j < nXLen;j++)
		{
			//计算每列元素和
			GetColSum(pnArr,pTmpArr,nXLen,nYLen,i,j);
			//求最大子数组和
			nCurSum = MaxSubSum(pTmpArr,nYLen);
			nMaxSum = max(nCurSum,nMaxSum);
		}
	}
	return nMaxSum;
}
int main()
{
	int nXLen = 0;
	int nYLen = 0;

	cin>>nXLen>>nYLen;
	int** pnArr = new int*[nXLen];
	for (int i = 0;i < nXLen;i++)
	{
		pnArr[i] = new int[nYLen];
		for (int j = 0;j < nYLen;j++)
		{
			cin>>pnArr[i][j];
		}
	}
	cout<<MaxSubMatrixSum(pnArr,nXLen,nYLen)<<endl;
	system("pause");
	return 1;
}

问题：在上面的程序中，由二维子矩阵压缩成一维矩阵时，直接对子矩阵中某列所有元素全加在一起得到，效率低啊。时间复杂度O((m*n)^2)

优化：给出一个二维子矩阵，为了更快地求出其对应的一维矩阵，我们可以使用二维数组sum[x][y]预先保存第y列，从第0行到第x行之间元素之和。

此时，我们要求第i行开始，到第j行结束的矩阵对应的一维矩阵时，可有sum[j][t] - sum[i - 1][t],t属于[0,n]得到.

此时，时间复杂度为O(m*m*n)

代码：求解最大子矩阵和

#include <iostream>
#include <assert.h>
using namespace std;

/*最大子数组之和*/  
int MaxSubSum(int nArr[],int nLen)  
{  
	assert(nArr && nLen > 0);  
	int nMaxSum = nArr[0];  
	int nCurSum = nArr[0];  
	for (int i = 1;i < nLen;i++)  
	{  
		if (nCurSum < 0)  
		{  
			nCurSum = nArr[i];  
		}  
		else  
		{  
			nCurSum += nArr[i];  
		}  
		nMaxSum = max(nCurSum,nMaxSum);  
	}  
	return nMaxSum;  
}  

/*把原矩阵第i行和第j行之间元素进行压缩，形成一个一维数组*/
void InitSumArr(int** pnArr,int** pnArrColSum,int nXLen,int nYLen)
{
	assert(pnArr && *pnArr && pnArrColSum && *pnArrColSum);
	assert(nXLen > 0 && nYLen > 0);
	for (int i = 0;i < nXLen;i++)//横坐标
	{
		for (int j = 0;j < nYLen;j++)//纵坐标
		{
			pnArrColSum[i][j] = 0;
			for (int t = 0;t <= i;t++)
			{
				pnArrColSum[i][j] += pnArr[t][j];
			}
		}
	}
}
/*枚举二维数组，压缩成一维数组，求解最大子数组和*/
int MaxSubMatrixSum(int** pnArr,int** pnArrColSum,int nXLen,int nYLen)
{
	assert(pnArr && *pnArr && pnArrColSum && *pnArrColSum);
	assert(nXLen > 0 && nYLen > 0);
	int nMaxSum = -0x3f3f3f3f;
	int nCurSum = -0x3f3f3f3f;
	int* pTmpArr = new int[nYLen]; 
	for (int i = 0;i < nXLen;i++)
	{
		for (int j = i;j < nXLen;j++)
		{
			if (i == 0)
			{
				for (int t = 0;t < nYLen;t++)
				{
					pTmpArr[t] = pnArrColSum[j][t];
				}
				nCurSum = MaxSubSum(pTmpArr,nYLen);
				nMaxSum = max(nCurSum,nMaxSum);
			}
			else
			{
				//计算每列元素和,并求最大子数组之和
				for (int t = 0;t < nYLen;t++)
				{
					pTmpArr[t] = pnArrColSum[j][t] - pnArrColSum[i - 1][t];
				}
				nCurSum = MaxSubSum(pTmpArr,nYLen);
				nMaxSum = max(nCurSum,nMaxSum);
			}
		}
	}
	return nMaxSum;
}
int main()
{
	int nXLen = 0;
	int nYLen = 0;

	cin>>nXLen>>nYLen;
	int** pnArr = new int*[nXLen];
	int** pnArrColSum = new int*[nXLen];
	for (int i = 0;i < nXLen;i++)
	{
		pnArr[i] = new int[nYLen];
		pnArrColSum[i] = new int[nYLen];
		for (int j = 0;j < nYLen;j++)
		{
			cin>>pnArr[i][j];
		}
	}
	InitSumArr(pnArr,pnArrColSum,nXLen,nYLen);
	cout<<MaxSubMatrixSum(pnArr,pnArrColSum,nXLen,nYLen)<<endl;
	system("pause");
	return 1;
}

数据输入：

4 4

0 -2 -7 0

9 2 -6 2

-4 1 -4 1

-1 8 0 -2

输出：15

这里不再给出求子矩阵区间的代码。