[置顶] bzoj3232: 圈地游戏 0-1分数规划

第一次接触到分数规划，没想到做题的时候难点不在这上头，反而在如何分数规划后，怎么用建立网络，我承认，做不来，建图是在网上剽窃的。

建图具体做法如下：

首先在原矩阵周围再加上一圈，将原矩阵包围起来，对于加上的一圈，每个格子都想t连一条权值为正无穷的有向边，表示这些格子都不选，然后对于原矩阵每个格子，由s向它连一条权值为sorce[i][j]的有向边，然后对于没调分割线两边的格子，连一条权值为分割线的权值的无向边。

分数规划如下：

二分答案，l=0,r=n*m*100;

因为要找最大值，所以if f[mid]>0 l=mid; else r=mid;

一定要注意精度啊，被坑死在这儿，不能直接像上面那样判断，要这样写：if f[mid]>1e-9 l=mid; else r=mid;

0-1分数规划如下：

定义：

01分数规划问题：所谓的01分数规划问题就是指这样的一类问题，给定两个数组，a[i]表示选取i的收益，b[i]表示选取i的代价。如果选取i，定义x[i]=1否则x[i]=0。每一个物品只有选或者不选两种方案，求一个选择方案使R=sigma(a[i]*x[i])/sigma(b[i]*x[i])取得最值，即所有选择物品的总收益/总代价的值最大或是最小。

01分数规划问题主要包含一般的01分数规划、 最优比率生成树问题、最优比率环问题等。我们将会对第一个问题进行讨论。

分析：

数学分析中一个很重要的方法就是分析目标式，这样我们来看目标式。

R=sigma(a[i]*x[i])/sigma(b[i]*x[i])

我们来分析一下他有什么性质可以给我们使用。

我们先定义一个函数F(L):=sigma(a[i]*x[i])-L*sigma(b[i]*x[i])，显然这只是对目标式的一个简单的变形。分离参数，得到F(L):=sigma((a[i]-L*b[i])*x[i])。这时我们就会发现，如果L已知的话，a[i]-L*b[i]就是已知的，当然x[i]是未知的。记d[i]=a[i]-L*b[i]，那么F(L):=sigma(d[i]*x[i])，多么简洁的式子。我们就对这些东西下手了。

再次提醒一下，我们的目标是使R取到最大值。

我们来分析一下这个函数，它与目标式的关系非常的密切，L就是目标式中的R，最大化R也就是最大化L。

F的值是由两个变量共同决定的，即方案X和参数L。对于一个确定的参数L来说，方案的不同会导致对应的F值的不同，那么这些东西对我们有什么用呢?

假设我们已知在存在一个方案X使得F(L)>0，这能够证明什么?

F(L)=sigma(a[i]*x[i])-L*sigma(b[i]*x[i])>0即sigma(a[i]*x[i])/sigma(b[i]*x[i])>L也就是说，如果一个方案使得F(L)>0说明了这组方案可以得到一个比现在的L更优的一个L，既然有一个更优的解，那么为什么不用呢？

显然，d数组是随着L的增大而单调减的。也就是说，存在一个临界的L使得不存在一种方案，能够使F(L)>0. 我们猜想，这个时候的L就是我们要求的最优解。之后更大的L值则会造成无论任何一种方案，都会使F(L)<><>

综上，函数F(L)有这样的一个性质：在前一段L中可以找到一组对应的X使得F(L)>0，这就提供了一种证据，即有一个比现在的L更优的解，而在某个L值使，存在一组解使得F(L)=0,且其他的F(L)<><><>

根据这样的一段性质，很自然的就可以想到二分L值，然后验证是否存在一组解使得F(L)>0，有就移动下界，没有就移动上界。

所有的01分数规划都可以这么做，唯一的区别就在于求解时的不同——因为每一道题的限制条件不同，并不是每一个解都是可行解的。比如在普通的数组中，你可以选取1、2、3号元素，但在生成树问题中，假设1、2、3号元素恰好构成了一个环，那就不能够同时选择了，这就是需要具体问题，具体分析的部分。

二分是一个非常通用的办法，但是我们来考虑这样的一个问题，二分的时候我们只是用到了F(L)>0这个条件，而对于使得F(L)>0的这组解所求到的R值没有使用。因为F(L)>0,我们已经知道了R是一个更优的解，与其漫无目的的二分，为什么不将解移动到R上去呢？求01分数规划的另一个方法就是Dinkelbach算法，他就是基于这样的一个思想，他并不会去二分答案，而是先随便给定一个答案，然后根据更优的解不断移动答案，逼近最优解。由于他对每次判定使用的更加充分，所以它比二分会快上很多。但是，他的弊端就是需要保存这个解，而我们知道，有时候验证一个解和求得一个解的复杂度是不同的。二分和Dinkelbach算法写法都非常简单，各有长处，大家要根据题目谨慎使用。

以上证明方法引用与：http://music.573114.com/Blog/Html/103D/275536.html

我的代码如下：

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cstdlib>
#include <cmath>
#include <ctime>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#define maxn 100020
using namespace std;

const double inf=100000000.0;

int n,m;
double sorce[200][200],sumsorce=0;
double heng[200][200],shu[200][200];
int id[200][200];

int sum=0;

int s=0,t=0;

int tot=1;
int fir[maxn],en[maxn],nex[maxn];
double f[maxn];
inline void ins(int x,int y,double z1,double z2){
//	printf("%d %d %lf %lf\n",x,y,z1,z2);
nex[++tot]=fir[x];
fir[x]=tot;
en[tot]=y;
f[tot]=z1;

nex[++tot]=fir[y];
fir[y]=tot;
en[tot]=x;
f[tot]=z2;
}

inline void insert(double mid){

memset(fir,0,sizeof(fir));
memset(nex,0,sizeof(nex));
memset(en,0,sizeof(en));
for (int i=0;i<maxn;i++)
f[i]=0;
tot=1;

for (int i=0;i<=n+1;i++)
for (int j=0;j<=m+1;j++){
if (!i || i == n + 1 || !j || j == m + 1)
ins(id[i][j],t,inf,0);
else
ins(s,id[i][j],sorce[i][j],0);
}
for (int  i=0; i <= n; ++i)
for (int j = 1; j <= m; ++j)
ins(id[i][j],id[i+1][j],mid*heng[i][j],mid*heng[i][j]);
for (int i = 1; i <= n; ++i)
for (int j = 0; j <= m; ++j)
ins(id[i][j],id[i][j+1],mid*shu[i][j], mid*shu[i][j]);
}

double flog=0,his[maxn];
int now[maxn],pre[maxn],num[maxn],d[maxn];
inline void sap(){
flog=0;
//    printf("<%lf>\n",flog);
for (int i=0;i<=t;i++){
now[i]=fir[i];
his[i]=0;
num[i]=d[i]=0;
}
num[0]=sum;
int i=s;
bool flag;
double aug=inf;
while (d[s]<sum){
flag=false;
his[i]=aug;
for (int k=now[i];k;k=nex[k]){
int j=en[k];
if ((d[i]==d[j]+1)&&(f[k]>0)){
now[i]=k;
pre[j]=i;
flag=true;
if (aug>f[k]) aug=f[k];
i=j;
if (i==t){
flog+=aug;
while (i!=s){
i=pre[i];
f[now[i]]-=aug;
f[now[i]^1]+=aug;
}
aug=inf;
}
break;
}
}
if (flag) continue;
int k1=0,minn=sum;
for (int k=fir[i];k;k=nex[k])
if (f[k]>0&&minn>d[en[k]]){
minn=d[en[k]];
k1=k;
}
--num[d[i]];
if (num[d[i]]==0) return;
d[i]=minn+1;
++num[d[i]];
now[i]=k1;
if (i!=s){
i=pre[i];
aug=his[i];
}
}
//    printf("<%lf>\n",flog);
}

int main(){
freopen("3232.in","r",stdin);
freopen("3232.out","w",stdout);

scanf("%d%d",&n,&m);
for	(int i=1;i<=n;i++)
for (int j=1;j<=m;j++){
scanf("%lf",&sorce[i][j]);
sumsorce+=sorce[i][j];
}
for (int i=0;i<=n+1;i++)
for (int j=0;j<=m+1;j++)
id[i][j]=s++;
sum=t=s+1;

for (int i=0;i<=n;i++)
for (int j=1;j<=m;j++)
scanf("%lf",&heng[i][j]);
for (int i=1;i<=n;i++)
for (int j=0;j<=m;j++)
scanf("%lf",&shu[i][j]);

double l=0,r=n*m*100,mid=0;
while (r-l>1e-5){
mid=(l+r)/2;
insert(mid);
sap();
//		printf("%lf %lf %lf\n",mid,flog,sumsorce);
if (sumsorce-flog<1e-9&&flog-sumsorce>=-(1e-9)) r=mid;
else l=mid;
}
printf("%.3lf",l);
return 0;
}