温度场有限容积法程序入门之七：相变过程温度场的数值计算

       当研究的温度变化过程伴有相变时，如何计算温度场？比如：连铸过程钢液由液态冷却到固态时，除了释放显热，也会释放潜热，而且通常显热量很大，将相变热忽略不计显然不是明智之举。

       没有相变时H=H0+Cp×T，H0为参考温度下的热焓，H为热焓，Cp为热容、T为温度，热量传输控制微分方程如下（不知道字母意义的同志不用看了，随便拷贝过来的公式，包含对流项，这里我们假设速度为0，即没有对流项，纯导热问题）：



[align=left] [/align]

       无相变情形，已做介绍。而根据热焓定义我们知道，无论导热方式传热抑或对流方式传热，都会引起物质焓变，即使物质温度未尝变化，热焓可以更好描述物质内含热量的变化。 有相变时，，将Cp×T的地方用H代替，使用如下控制微分方程：



[align=left] [/align]

       热焓的计算公式，仅仅适用于固液转变一个相变点的情形：



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       其中fl为所谓的液相率，一个比较粗糙的计算公式如下（Ts和Tl分别是固相线和液相线温度，话说这个公式是根本不存在的，是个坑，很多人跳进来出不去了；其实热焓与温度关系最简单粗暴的方法是多项式拟合，而不是被吹的神乎其神但华而不实的余弦升降函数，这是后话）：



[align=left] [/align]

       显而易见，热焓是温度的函数，已知某温度值就会知道其对应温度下的热焓值，知道热焓亦可知温度值，两者为一一对应的关系，就像人和身份证ID一样一一对应。
       如以一维非稳态无热源导热显示为例，则求解如下微分方程：



[align=left] [/align]

       根据初始温度可以计算得到方程右边值，即四周向控制体包围节点的传递的热量（W/m3），计算方法同前；方程左边离散后，根据右边计算值可以计算得到下一时刻节点的热焓，根据热焓温度关系公式计算其对应温度值，该温度值作为下一时刻迭代的温度初值和热焓初值，继续迭代计算。显式算法中热焓与温度的相互转换显得十分重要，根据公式可以方便由温度计算得到热焓，然而热焓公式非线性时，根据热焓计算温度场就不那么容易了，根据非线性方程求根得到，我试过Steffensen's Accelerating
Convergence (Richard L. Burden & J. Douglas Faires: Numerical Analysis (7th Edition) P89)，求解速度很快，适用于导数亦连续函数，而若函数表达式中包含上述液相线的表达式时，求解往往以震荡而失败，如下Demo求解3*x^2+exp(x)=0：

// fastSolve.cpp : Defines the entry point for the console application.
//

#include "stdafx.h"

#include <IOSTREAM.H>
#include <MATH.H>

#define eps 1E-6f
#define REAL float

REAL Fun(REAL x=0)
{
return 2*log(x)+log(3);
}

REAL fsolve(REAL x=0)
{
REAL root,y,z;

for (int i=0;i<100;i++)
{
y=Fun(x);
z=Fun(y);

REAL divisor=(z+x-2*y);
if (fabs(divisor)<eps)
{
cout<<"Two Small Divisor"<<endl;
return root;
}

root=x-(y-x)*(y-x)/divisor;

cout<<x<<";"<<root<<endl;

if (fabs(root-x)<eps)
{
return root;
}
else
{
x=root;
}
}

return 0;
}

int main(int argc, char* argv[])
{
printf("Hello World!\n");

fsolve(3.5);

return 0;
}

       对于有多个根的情形，初值选取就必须合理，不然求解得到可能不是想要的情形，如上Demo，初值取3.5和1.1可以得到截然不同的两个正确解，以为该算法不行呢，后证明是自己不行，论证如下：
根据如下脚本对该函数绘图：

# -*- coding: utf-8 -*-
"""
Created on Wed Dec 11 09:51:49 2012

@author: Richard Jones Soong
"""

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

x=np.linspace(0,4,1000)

plt.plot(x,3*x*x-np.exp(x),label="Q")

plt.xlabel("x")
plt.ylabel("y")

plt.title("Equal")
#plt.ylim(0,0.1)

#Place the Legend to ‘upper left’
plt.legend(loc=1)

plt.show()

得到该函数形状如下，确有多重根：



       热焓方法如何使用隐式求解呢？远比显式的复杂，大家不妨尝试想想。
       很多方法可以考虑相变热，如等效比热法、温度回升法。其中温度回升法，物理意义明晰，易于理解。