ACM - 暑期第十天：最短路径

1. 最短路径概述

最短路径问题是图论研究中的一个经典算法问题， 旨在寻找图（由结点和路径组成的）中两结点之间的最短路径。 算法具体的形式包括：

确定起点的最短路径问题 - 即已知起始结点，求最短路径的问题。

确定终点的最短路径问题 - 与确定起点的问题相反，该问题是已知终结结点，求最短路径的问题。在无向图中该问题与确定起点的问题完全等同，在有向图中该问题等同于把所有路径方向反转的确定起点的问题。

确定起点终点的最短路径问题 - 即已知起点和终点，求两结点之间的最短路径。

全局最短路径问题 - 求图中所有的最短路径。（摘自百度百科）。

2. 解决方法

用于解决最短路径问题的算法被称做“最短路径算法”， 有时被简称作“路径算法”。 最常用的路径算法有：

Dijkstra算法

A*算法

SPFA算法

Bellman-Ford算法

Floyd-Warshall算法

Johnson算法

所谓单源最短路径问题是指：已知图G=（V，E），我们希望找出从某给定的源结点S∈V到V中的每个结点的最短路径。

首先，我们可以发现有这样一个事实：如果P是G中从vs到vj的最短路，vi是P中的一个点，那么，从vs沿P到vi的路是从vs到vi的最短路。

3.博客链接

   
1. 几种算法比较

   
2. 单元最短路径（Dijkstra算法）

4.农大ACM1030代码：     
点击我链接

用邻接矩阵存储图信息，可求出源点到任意节点的最短距离。

#include<iostream>
using namespace std;
int main()
{	//ifstream cin("1030.in");
int infinity=1000,j,i,n,k,t,**w,*s,*p,*d;
//cout<<"input the value of n:";
cin >> n;
//cout<<endl;

d=new int
;
s=new int
;
p=new int
;
w=new int*
;
for(i=0;i<n;i++) {w[i]=new int
;}
//输入各路径的权值。。
for(i=0;i<n;i++)
for(j=0;j<n;j++)
cin>>w[i][j];

for(s[0]=1,i=1;i<n;i++)
{
s[i]=0;d[i]=w[0][i];
if(d[i]<infinity) p[i]=0;
else p[i]=-1;
}

for(i=1;i<n;i++)
{
t=infinity;
k=1;
//从还没进行过松弛操作的点中选出到源点距离最小的点k。。
for(j=1;j<n;j++)
if((!s[j])&&(d[j]<t)){t=d[j];k=j;}
s[k]=1;//point k join the S
//进行松弛操作。。就是看能否通过k获得源点0到点j的更短的路径。。p[j]记录的是从0到j的最短路径中j的上一个点。。
for (j=1;j<n;j++)
if((!s[j])&&(d[j]>d[k]+w[k][j])) {d[j]=d[k]+w[k][j];p[j]=k;}
}
//cout<<"从源点到其它顶点的最短距离依次如下：";
cout << d[n-1] << endl;

return 0;
}