算法分析---外星人计算PI的程序

一、源程序

　　本文分析下面这个很流行的计算PI的小程序。下面这个程序初看起来似乎摸不到头脑，不过不用担心，当你读完本文的时候就能够基本读懂它了。

　　

　　程序一：很牛的计算Pi的程序

　　int a=10000,b,c=2800,d,e,f[2801],g;

　　main() {

　　for(;b-c

　　f[b++]=a/5;

　　for(;d=0,g=c*2;c -=14,printf("%.4d",e+d/a),e=d%a)

　　for(b=c; d+=f[b]*a,f[b]=d%--g,d/=g--,--b; d*=b);

　　}

　　

　　二、数学公式

　　数学家们研究了数不清的方法来计算PI,这个程序所用的公式如下：

　　1 2 3 k

　　pi = 2 + --- * (2 + --- * (2 + --- * (2 + ... (2 + ---- * (2 + ... ))...)))

　　3 5 7 2k+1

　　

　　至于这个公式为什么能够计算出PI，已经超出了本文的能力范围。

　　

　　下面要做的事情就是要分析清楚程序是如何实现这个公式的。

　　

　　我们先来验证一下这个公式：

　　

　　程序二：Pi公式验证程序

　　#include "stdio.h"

　　void main()

　　{

　　float pi=2;

　　int i;

　　for(i=100;i>=1;i--)

　　pi=pi*(float)i/(2*i+1)+2;

　　printf("%f\n",pi);

　　getchar();

　　}

　　

　　上面这个程序的结果是3.141593。

　　

　　三、程序展开

　　在正式分析程序之前，我们需要对程序一进行一下展开。我们可以看出程序一都是使用for循环来完成计算的，这样做虽然可以使得程序短小，但是却很难读懂。根据for循环的运行顺序，我们可以把它展开为如下while循环的程序：

　　

　　程序三：for转换为while之后的程序

　　int a=10000,b,c=2800,d,e,f[2801],g;

　　main() {

　　int i;

　　for(i=0;i<C;I++)

　　f[i]=a/5;

　　while(c!=0)

　　{

　　d=0;

　　g=c*2;

　　b=c;

　　while(1)

　　{

　　d=d+f[b]*a;

　　g--;

　　f[b]=d%g;

　　d=d/g;

　　g--;

　　b--;

　　if(b==0) break;

　　d=d*b;

　　}

　　c=c-14;

　　printf("%.4d",e+d/a);

　　e=d%a;

　　

　　}

　　

　　}

　　

　　注：

　　for( ; ; ) { ;}

　　的运行顺序是 , , , 。如果有逗号操作符，例如：d=0,g=c*2，则先运行d=0,然后运行g=c*2,并且最终的结果是最后一个表达式的值，也就是这里的c*2。

　　

　　下面我们就针对展开后的程序来分析。

　　

　　四、程序分析

　　要想计算出无限精度的PI，我们需要上述的迭代公式运行无数次，并且其中每个分数也是完全精确的，这在计算机中自然是无法实现的。那么基本实现思想就是迭代足够多次，并且每个分数也足够精确，这样就能够计算出PI的前n位来。上面这个程序计算800位，迭代公式一共迭代2800次。

　　int a=10000,b,c=2800,d,e,f[2801],g;

　　这句话中的2800就是迭代次数。

　　

　　由于float或者double的精度远远不够，因此程序中使用整数类型（实际是长整型），分段运算（每次计算4位）。我们可以看到输出语句 printf("%.4d",e+d/a); 其中%.4就是把计算出来的4位输出，我们看到c每次减少14（ c=c-14;），而c的初始大小为2800，因此一共就分了200段运算，并且每次输出4位，所以一共输出了800位。

　　

　　由于使用整型数运算，因此有必要乘上一个系数，在这个程序中系数为1000，也就是说，公式如下：

　　

　　1 2 3 k

　　1000*pi = 2k+ --- * (2k+ --- * (2k+ --- * (2k+ ... (2k+ ---- * (2k+ ... ))...)))

　　3 5 7 2k+1

　　

　　这里的2k表示2000，也就是f[2801]数组初始化以后的数据,a=10000,a/5=2000,所以下面的程序把f中的每个元素都赋值为2000：

　　for(i=0;i<C;I++)

　　f[i]=a/5;

　　

　　你可能会觉得奇怪，为什么这里要把一个常数储存到数组中去，请继续往下看。

　　

　　我们先来跟踪一下程序的运行：

　　while(c!=0) 假设这是第一次运行，c=2800，为迭代次数

　　{

　　d=0;

　　g=c*2; 这里的g是用来做k/(2k+1)中的分子

　　b=c; 这里的b是用来做k/(2k+1)中的分子

　　while(1)

　　{

　　d=d+f[b]*a; f中的所有的值都为2000，这里在计算时又把系数扩大了a=10000倍。

　　这样做的目的稍候介绍，你可以看到输出的时候是d/a,所以这不影

　　计算

　　g--;

　　f[b]=d%g; 先不管这一行

　　d=d/g; 第一次运行的g为2*2799+1，你可以看到g做了分母

　　g--;

　　b--;

　　if(b==0) break;

　　d=d*b; 这里的b为2799，可以看到d做了分子。

　　}

　　c=c-14;

　　printf("%.4d",e+d/a);

　　e=d%a;

　　

　　}

　　

　　只需要粗略的看看上面的程序，我们就大概知道它的确是使用的那个迭代公式来计算Pi的了，不过不知道到现在为止你是否明白了f数组的用处。如果没有明白，请继续阅读。

　　d=d/g,这一行的目的是除以2k+1，我们知道之所以程序无法精确计算的原因就是这个除法。即使用浮点数，答案也是不够精确的，因此直接用来计算800位的Pi是不可能的。那么不精确的成分在哪里？很明显：就是那个余数d%g。程序用f数组把这个误差储存起来，在下次计算的时候使用。现在你也应该知道为什么d=d+f[b]*a;中间需要乘上a了吧。把分子扩大之后，才好把误差精确的算出来。

　　d如果不乘10000这个系数，则其值为2000，那么运行d=d/g；则是2000/(2*2799+1)，这种整数的除法答案为0，根本无法迭代下去了。

　　现在我们知道程序就是把余数储存起来，作为下次迭代的时候的参数，那么为什么这么做就可以使得下次迭代出来的结果为

　　接下来的数字呢？

　　这实际上和我们在纸上作除法很类似：

　　

　　0142

　　/——------

　　7 / 1

　　10

　　7

　　---------------

　　30

　　28

　　---------------

　　20

　　14

　　---------------

　　60

　　.....

　　

　　我们可以发现，在做除法的时候，我们通常把余数扩大之后再来计算，f中既然储存的是余数，而f[b]*a;则正好把这个余数扩大了a倍，然后如此循环下去，可以计算到任意精度。

　　这里要说明的是，事实上每次计算出来的d并不一定只有4位数，例如第一次计算的时候，d的值为31415926，输出4位时候，把低四位的值储存在e中间，e=d%a，也就是5926。

　　

　　最后，这个c=c-14不太好理解。事实上没有这条语句，程序计算出来的仍然正确。只是因为如果迭代2800次，无论分数如何精确，最后Pi的精度只能够达到800。

　　你可以把程序改为如下形式尝试一下：

　　

　　for(i=0;i<800;i++)

　　{

　　d=0;

　　g=c*2;

　　b=c;

　　while(1)

　　{

　　d=d+f[b]*a;

　　g--;

　　f[b]=d%g;

　　d=d/g;

　　g--;

　　b--;

　　if(b==0) break;

　　d=d*b;

　　}

　　// c=c-14; 不要这句话。

　　printf("%.4d",e+d/a);

　　e=d%a;

　　

　　}

　　最后的答案仍然正确。

　　不过我们可以看到内循环的次数是c次，也就是说每次迭代计算c次。而每次计算后续位数的时候，迭代次数减少14，而不影响精度。为什么会这样，我没有研究。另外最后的e+d/a,和e=d/a的作用就由读者自己考虑吧。