Machine Learning（五—1）神经网络初步

第四讲——Neural Networks 神经网络的表示

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（一）、为什么引入神经网络？——Nonlinear hypothesis

（二）、神经元与大脑（Neurons and Brain）

（三）、神经网络的表示形式

（四）、怎样用神经网络实现逻辑表达式？

（五）、分类问题（Classification）

本章主要围绕神经网络的建模及其线性表示（即neural networks的representation）做以初步了解，在下一章中将会有更详细的神经网络如何学习方面的知识。

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（一）、为什么引入神经网络？——Nonlinear hypothesis

之前我们讨论的ML问题中，主要针对Regression做了分析，其中采用梯度下降法进行参数更新。然而其可行性基于假设参数不多，如果参数多起来了怎么办呢？比如下图中这个例子：从100*100个pixels中选出所有XiXj作为logistic regression的一个参数，那么总共就有5*10^7个feature，即x有这么多维。



所以引入了Nonlinear hypothesis，应对高维数据和非线性的hypothesis（如下图所示）：



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（二）、神经元与大脑（neurons and brain）

神经元工作模式：



神经网络的逻辑单元：输入向量x（input layer），中间层a(2,i)（hidden layer）, 输出层h(x)（output layer）。

其中，中间层的a(2,i)中的2表示第二个级别（第一个级别是输入层），i表示中间层的第几个元素。或者可以说，a(j,i) is the activation of unit i in layer j.



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（三）、神经网络的表示形式



从图中可知，中间层a(2，j)是输入层线性组合的sigmod值，输出又是中间层线性组合的sigmod值。

下面我们进行神经网络参数计算的向量化：

令z(2)表示中间层，x表示输入层，则有


，

z(2)=Θ(1)x

a(2)=g(z(2))

或者可以将x表示成a(1)，那么对于输入层a(1)有[x0~x3]4个元素，中间层a(2)有[a(2)0~a(2)3]4个元素（其中令a(2)0=1），则有

h(x)= a(3)=g(z(3))

z(3)=Θ(2)a(2)

通过以上这种神经元的传递方式（input->activation->output）来计算h(x), 叫做Forward propagation, 向前传递。

这里我们可以发现，其实神经网络就像是logistic regression，只不过我们把logistic regression中的输入向量[x1~x3]变成了中间层的[a(2)1~a(2)3],
即

h(x)=g(Θ(2)0 a(2)0+Θ(2)1 a(2)1+Θ(2)2 a(2)2+Θ(2)3 a(2)3)

而中间层又由真正的输入向量通过Θ(1)学习而来，这里呢，就解放了输入层，换言之输入层可以是original input data的任何线性组合甚至是多项式组合如set x1*x2 as original x1...另外呢，具体怎样利用中间层进行更新下面会更详细地讲；此外，还有一些其他模型，比如：



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（四）、怎样用神经网络实现逻辑表达式？

神经网路中，单层神经元（无中间层）的计算可用来表示逻辑运算，比如逻辑AND、逻辑或OR
举例说明：逻辑与AND；下图中左半部分是神经网络的设计与output层表达式，右边上部分是sigmod函数，下半部分是真值表。



给定神经网络的权值就可以根据真值表判断该函数的作用。再给出一个逻辑或的例子，如下图所示：



以上两个例子只是单层传递，下面我们再给出一个更复杂的例子，用来实现逻辑表达< x1 XNOR x2 >, 即逻辑同或关系，它由前面几个例子共同实现：



将AND、NOT AND和 OR分别放在下图中输入层和输出层的位置，即可得到x1 XNOR x2，道理显而易见：

a21 = x1 && x2

a22 = （﹁x1）&&（﹁x2）

a31 =a21 ||a21 =(x1 && x2) || （﹁x1）&&（﹁x2） = x1 XNOR x2；



应用：手写识别系统



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（五）、分类问题（Classification）

记得上一章中我们讲过的one-vs-all分类问题么？one-vs-all方法是把二类分类问题到多类分类的一个推广，在这里，我们就讲述如何用神经网络进行分类。网络设计如下图所示：



输入向量x有三个维度，两个中间层，输出层4个神经元分别用来表示4类，也就是每一个数据在输出层都会出现[a b c d]T，且a,b,c,d中仅有一个为1，表示当前类。