第二届蓝桥杯C++本科B组决赛解题报告

<1>四方定理

n == 0    f(n-i*i,a,idx+1）

数论中有著名的四方定理：所有自然数至多只要用四个数的平方和就可以表示。

我们可以通过计算机验证其在有限范围的正确性。

对于大数，简单的循环嵌套是不适宜的。下面的代码给出了一种分解方案。

请仔细阅读，填写空缺的代码（下划线部分）。

注意：请把填空的答案（仅填空处的答案，不包括题面）存入考生文件夹下对应题号的“解答.txt”中即可。

直接写在题面中不能得分。

#include<stdio.h>
#include<math.h>
int f(int n, int a[], int idx)
{
if(n == 0) return 1;  // 填空1
if(idx==4)  return 0;

for(int i=(int)sqrt(n); i>=1; i--)
{
a[idx] = i;

if(f(n-i*i,a,idx+1))  return 1;  // 填空2
}

return 0;
}

int main(int argc, char* argv[])
{
for(;;)
{
int number;
printf("输入整数(1~10亿)：");
scanf("%d",&number);

int a[] = {0,0,0,0};

int r = f(number, a, 0);

printf("%d: %d %d %d %d\n", r, a[0], a[1], a[2], a[3]);

}

return 0;
}

/*
输入整数(1~10亿)：34
1: 5 3 0 0
输入整数(1~10亿)：23
1: 3 3 2 1
输入整数(1~10亿)：101
1: 10 1 0 0
输入整数(1~10亿)：134
1: 11 3 2 0
*/

 <2>加密

在对文本进行简单加密的时候，可以选择用一个n位的二进制数，对原文进行异或运算。

解密的方法就是再执行一次同样的操作。

加密过程中n位二进制数会循环使用。并且其长度也可能不是8的整数倍。

下面的代码演示了如何实现该功能。

请仔细阅读，填写空缺的代码（下划线部分）。

注意：请把填空的答案（仅填空处的答案，不包括题面）存入考生文件夹下对应题号的“解答.txt”中即可。

直接写在题面中不能得分。

#include <stdio.h>
#include <string.h>
#include <malloc.h>
void f(char* buf, unsigned char* uckey, int n)
{
int i;
for(i=0; i<n; i++)
buf[i] = buf[i] ^ uckey[i];
}

void main()
{
char p[] = "abcd中国人123";  // 待加密串

char* key = "11001100010001110";  //以串的形式表达的密匙，运算时要转换为按位存储的形式。

int np = strlen(p);
int nk = strlen(key);
unsigned char* uckey = (unsigned char*)malloc(np);

// 密匙串需要按位的形式循环拼入 uckey中
int i;
for(i=0; i<np*8; i++)
{
if(key[i%nk]=='1')
uckey[i/8]=uckey[i/8]|(1<<(i%nk));  // 填空1
else
uckey[i/8]=uckey[i/8]&~(1<<(i%nk));  // 填空2

}
f(p, uckey, strlen(p));
printf("%s\n", p);
f(p, uckey, strlen(p));
printf("%s\n", p);
free(uckey);
}

/*
R)%輏?鳅?
abcd中国人123
*/

方法2

#include <stdio.h>
#include <string.h>
#include <malloc.h>
void f(char* buf, unsigned char* uckey, int n)
{
int i;
for(i=0; i<n; i++)
buf[i] = buf[i] ^ uckey[i];
}

void main()
{
char p[] = "abcd中国人123rttrtrfg电饭锅";  // 待加密串

char* key = "11001100010001110";  //以串的形式表达的密匙，运算时要转换为按位存储的形式。

int np = strlen(p);
int nk = strlen(key);
unsigned char* uckey = (unsigned char*)malloc(np);

// 密匙串需要按位的形式循环拼入 uckey中
int i;
for(i=0; i<np*8; i++)
{
if(key[i%nk]=='1')
uckey[i/8]= '1';  // 填空1
else
uckey[i/8]= '0';  // 填空2

}
f(p, uckey, strlen(p));
printf("%s\n", p);
f(p, uckey, strlen(p));
printf("%s\n", p);
free(uckey);
}

/*
QSSU玑埵...CEDBDCVV勚唹壢
abcd中国人123rttrtrfg电饭锅
*/

 <3>公倍数

为什么1小时有60分钟，而不是100分钟呢？这是历史上的习惯导致。

但也并非纯粹的偶然：60是个优秀的数字，它的因子比较多。

事实上，它是1至6的每个数字的倍数。即1,2,3,4,5,6都是可以除尽60。

我们希望寻找到能除尽1至n的的每个数字的最小整数。

不要小看这个数字，它可能十分大，比如n=100, 则该数为：

69720375229712477164533808935312303556800

请编写程序，实现对用户输入的 n （n<100）求出1~n的最小公倍数。

例如：

用户输入：

6

程序输出：

60

用户输入：

10

程序输出：

2520

要求考生把所有函数写在一个文件中。调试好后，存入与考生文件夹下对应题号的“解答.txt”中即可。

相关的工程文件不要拷入。

对于编程题目，要求选手给出的解答完全符合ANSI C标准，不能使用c++特性；

不能使用诸如绘图、中断调用等硬件相关或操作系统相关的API。

#include<iostream>
using namespace std;

int c[500];      //存储初始的数字
int r[500];      //将c中的数字全部相乘得到的最终结果存储到r数组中
int digit = 1;   //数字的位数
void main()
{
int n;
cin>>n;
for(int i = 1;i <= n;i++)
{
c[i] = i;
}
for(int j = 3;j <= n;j++)
{
for(int k = 2;k <= j-1;k++)
{
if( (c[j]%c[k]) == 0)
{
c[j] /= c[k];
}
}
}

r[1] = c[1];
for(int m = 1;m <= n;m++)
{
for(int nn = 1;nn <= digit;nn++)
{
r[nn] *= c[m];
}
for(int p = 1;p < digit;p++)
{
if(r[p] >= 10)
{
r[p+1] += r[p]/10;
r[p] %= 10;
}
}
if(r[digit] >= 10)
{
r[digit+1] += r[digit]/10;
r[digit] %= 10;
++digit;
}
}

for(int q = digit;q >= 1;q--)
cout<<r[q];
cout<<endl;
}

/*
100
69720375229712477164533808935312303556800
*/