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算法导论 3.1-6

2013-07-01 16:40 162 查看

问题

证明：一个算法的运行时间是
$\Theta(g(n))$
当且仅当其最坏情况运行时间是
$\O(g(n))$
，且最佳情况运行时间是
$\Omega(g(n))$

分析

证明：

充分条件：

算法的运行时间为T(n)

由题意可知，存在c1,c2,n0,当n>=n0时，0 < c1g(n) <= T(n) <= c2g(n)

因为最坏运行时间Tmax(n) >= T(n)

存在c1，n0，当n>=n0时，0 < c1g(n) <= Tmax(n)

即最坏情况运行时间是
$\O(g(n))$

同理可证最佳情况运行时间是
$\Omega(g(n))$

必要条件：

由题意得存在n0,c1使当n >= n0时0 <= c1g(n) <= Tmin(n)且存在n1,c2使当n>=n1时0 <= Tamx(n) <= c2g(n)

因为Tmin(n) <= T(n) <= Tmax(n)

所以当n>=max(n0,n1)时，存在c1,c2,使0 <= c1g(n) < T(n) < c2g(n)

由渐近确界定义，得证

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标签： 算法导论第三章

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