B树

用阶定义的B树

B树又叫平衡多路查找树。一棵m阶的B树的特性如下：

树中每个结点最多含有m个孩子（m >= 2）
除根结点和叶子结点外，其它每个结点至少有ceil(m / 2)个孩子（ps：ceil(x)取x的上整数）
若根结点不是叶子结点，则至少有2个孩子（特殊情况：没有孩子的根结点，即根节点为叶子结点，整棵树只有一个根结点）
所有叶子都出现在同一层
每个非终端结点中包含有n个关键字信息：（n, p0, k1, p1, k2, p2, ..., kn, pn）.其中 （1）n为该结点的关键字的总个数，满足ceil(m/2) - 1 <= n <= m -1 （2）ki(i = 1, .., n)为关键字，且关键字按升序排序 （3）pi为指向子树根的结点，且指针p(i-1)指向子树中所有结点的关键字均小于ki，但都大于k(i-1)

用度定义的B树

一棵B树T是具有如下性质的有根树（根为root[T]）:

1）每个结点x有以下域：

n[x]，当前存储在结点x中的关键字数
n[x]个关键字本身，以非降序存放，因此key1[x] <= key2[x] <= ... <= key(n[x])[x]
leaf[x]，是一个布尔值，如果x是叶子的话，则它为TRUE，如果x为一个内结点，则为FALSE
2）每个内结点x还包含n[x] + 1个指向其子女的指针c1[x]，c2[x]，...，c(n[x] + 1)[x].叶子结点没有子女，故它们的ci域无定义

3）如果ki为存储在以ci[x]为根的子树中的关键字，则k1 <= key1[x] <= k2 <= key2[x] <= ... <= key(n[x])[x] <= k(n[x] + 1)
4）每个叶子结点具有相同的深度，即树的高度h
5）每一个结点能包含的关键字数有一个上界和下界。这些界可用一个称作B树的最小度数的固定整数t >= 2来表示

每个非根的结点必须至少有t - 1个关键字。每个非根的内结点至少有t个子女。如果树是非空的，则根结点至少包含一个关键字
每个结点可包含至多2t-1个关键字。所以一个内结点至多可有2t个子女。我们说一个结点是满的，如果它恰好有2t - 1个关键字

B树的高度

B树上的大部分操作所需的磁盘存取次数与B树的高度成正比。下面来分析B树的最坏高度情况：

定理18.1 如果n >= 1, 则对任意一棵包含n个关键字、高度h、最小度数t >= 2的B树T，有：



证明：如果一棵B树的高度为h，其根结点包含至少一个关键字而其他结点包含至少t - 1个关键字。这样，在深度1至少有两个结点，在深度2至少有2t个结点，在深度3至少有2t2个结点，等等。因此，关键字的个数n满足不等式：



与红黑树相比，这里我们看道了B树的能力。虽然二者的高度都是以O(lgn)的速度增长（t是个常数），对B树来说对数的底要打很多倍。对于大多数的树操作来说，要查找的结点数在B树中要比在红黑树中少大约lgt的因子。因为在树中查找任意一个结点通常都需要一次磁盘存取，所以磁盘存取的次数大大地减少了

B树的ADT

[cpp] view
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#define m 1024 /*B树的阶(代表每个结点至多有m棵子树)*/  

  

// B树ADT  

struct btnode  

{  

    int keynum; /*结点中关键字个数, keynum < m*/  

    struct btnode *parent; /*指向父结点*/  

    struct btnode *ptr; /*子树指针向量：ptr[0]...ptr[keynum]*/  

    int *key; /*关键字向量：key[1]...key[keynum]*/  

    int *offset; /*key在硬盘中的存储位置：offset[1]...offset[keynum]*/  

};  

B树的基本操作

下面要给出B-TREE-SEARCH，B-TREE-CREATE和B-TREE-INSERT的操作，在这些过程中，采用两个约定：

B树的根结点始终在主存中，因而无需对根做DISK-READ;但是，每当根结点被改变后，都需要对根结点做一次DISK-WRITE
任何被当作参数的结点被传递之前，要先对它们做一次DISK-READ

搜索B树

搜索B树与搜索二叉查找树类似，只是在每个结点 所做的不是个二叉或者“两路”分支决定，而是根据该结点的子女数所做的多路分支决定。更准确的说，在每个内结点x处，要做(n[x] + 1)路的分支决定。

[cpp] view
plaincopy

/** 

 * 从树根指针为root的B树上查找关键字k对应记录的存储位置 

 */  

int btree_search(struct btnode *root, int k)  

{  

    int i;  // 待比较的关键字序号  

  

    struct btnode *p = root;  

  

    while (p != NULL) {  

        i = 1;  

  

        while (i < p->keynum && k > p->key[i]) {  

            i ++;  

        }  

  

        if (k == p->key[i]) {  

            return p->offset[i];  

        } else {  

            p = p->ptr[i - 1];  

        }  

    }  

  

    return -1;  // 查找失败返回-1  

}  

如下图所示，即是一棵B树，一棵关键字为英语中辅音字母的B树，现在要从树中查找字母R（包含n[x]个关键字的内结点x，x有n[x] + 1个子女（也就是说，一个内结点x若含有n[x]个关键字，那么x将含有n[x] + 1个子女）。所有的叶子结点都处于相同的深度，颜色稍浅的结点为查找字母R时需要检查的结点）：



下面，我们来模拟一下查找R的过程：

根据根结点找到根磁盘块1,将其中的信息导入到内存    [磁盘IO操作1次]
此时内存中有一个辅音字母M和两个存储其他磁盘页面地址的数据。根据算法我们发现，R > M,因此我们找到了第二个指针，里面的key包含了Q、T、X
根据第二个指针，我们定位到包含QTX的磁盘块，并将其信息导入到内存    [磁盘IO操作2次（累加计数）]
此时内存中有三个辅音字母Q、T、X和其他四个存储其他磁盘页面地址的数据。根据算法我们发现：Q < R < T,因此我们找到包含第二个指针
根据第二个指针，我们定位到包含R、S的磁盘块，并将其中的信息导入到内存    [磁盘IO操作3次]
此时内存中包含了R、S，根据算法我们查到了该内存块，并返回R的磁盘地址
分析上面的过程，发现需要3次磁盘IO操作和3次内存查找操作。关于内存中的文件查找，由于是一个有序表结构，可以利用折半查找提高效率。至于IO操作则是影响整个B树查找效率的决定因素。

创建一棵空的B树

为了构造一个B树T，先用init_btree来创建一个空的根结点，再调用insert_btree来加入新的关键字

[cpp] view
plaincopy

/** 

 * 初始化B树，树根指针置空 

 */  

inline void init_btree(struct btnode *root)  

{  

    root = NULL;  

}  

向B树插入关键字

B树插入是指到一个已知的叶结点上，因为不能把关键字插到一个满的叶结点上，故引入一个操作，将一个满的结点y（有2t-1个关键字）按其中间关键字key[y]分裂成两个各含t-1个关键字的结点，中间关键字提升到y的双亲结点，如果y的双亲也是满的，则自底向上传播分裂

如同二叉查找树，插入时，需要从根部沿着树下降到叶子，当沿着树往下查找新关键字所属位置时，就分裂遇到的每一个满结点，这样就能保证，要分裂一个满结点y时，就能确保它的双亲不是满的

B树中的结点分裂

满结点y按其中间关键字S进行分裂，S则被提升到y的双亲结点x中。y中大于中间关键字的那些关键字都置于新结点z中，它成为x的一个新孩子。

在B树中插入关键码key的思路

对高度为h的m阶树，新节点一般是插在第h层。通过检索可以确定关键码应插入的结点位置。然后分两种情况讨论：

若该结点中关键码个数小于m-1,则直接插入即可
若该结点中关键码个数等于m-1,则将引起结点的分裂。以中间关键码为界将结点一分为二，产生一个新结点，并把关键中间码插入到父结点(h-1)层中
重复上述工作，最坏情况一直分裂到根结点，建立一个新的根结点，整个B树增加一层