在计算机中，长整型(long int)变量的范围是 -2147483648 至
2147483647，因此若用长整型变量做乘法运算，乘积最多不能超过 10位数。即便用双精度型(double)变量，也仅能保证 16
位有效数字的精度。在某些需要更高精度的乘法运算的场合，需要用别的办法来实现乘法运算。
比较容易想到的是做多位数乘法时列竖式进行计算的方法，只要写出模拟这一过程的程序，就能实现任意大整数的乘法运算。经过查阅资料，找到一种更易于编程的方法，即“列表法”。
下面先介绍“列表法”：
例如当计算8765 x 234时，把乘数与被乘数照如下列出，见表1：
8 7 6 5 8765
2 16 14 12 10 2
3 24 21 18 15 3
4 32 28 24 20 4
表 1 表 2
把每个空格所在的行列的数字的乘积填入空格中，得表2。把表2中的数按图示斜线分组（横纵坐标和相等的数分为一组），把每组数的累加起来所得的和记在表格下方，见表
3：
16 14 12 10
24 21 18 15
32 28 24 20
16 38 65 56 39 20
表 3
最后把表格下方一行数作如下处理，见表4：
从最低位的 20 开始，保留个位数字“0”，把个位以外的数“2”进到前一位；把次低位的 39 加上低位进上来的 2 得
41，保留个位数字“1”，把“4”进到前一位；以此类推，直至最高位的 16，16 加上低位进上来的4得
20，保留“0”，把2进到最高位，得乘积答数 2051010。
16 38 65 56 39 20
2 16+4=20 38+7=45 65+6=71 56+4=60 39+2=41
留0进2 留5进4 留1进7 留0进6 留1进4 留0进2
2 0 5 1 0 1 0
表 4
根据以上思路就可以编写C 程序了，再经分析可得：
1、一个m 位的整数与一个 n 位的整数相乘，乘积为m+n-1 位或m+n 位。
2、程序中，用三个字符数组分别存储乘数、被乘数与乘积。由第 1 点分析知，存放乘积的字符数组
的长度应不小于存放乘数与被乘数的两个数组的长度之和。
3、可以把第二步“计算填表”与第三四步“累加进位”放在一起完成，可以节省存储表格 2所需的空间。
4、程序关键部分是两层循环，内层循环累计一组数的和，外层循环处理保留的数字与进位。
编写的程序如下：
程序 1 清单：
#define MAXLENGTH 1000
#include <stdio.h>
#include <string.h>
void compute(char *a, char *b, char *c);
void main(void)
{
char a[MAXLENGTH], b[MAXLENGTH], c[MAXLENGTH * 2];
puts("Input multiplier :");
gets(a);
puts("Input multiplicand :");
gets(b);
compute(a, b, c);
puts("Answer :");
puts(c);
getchar();
}
void compute(char *a, char *b, char *c)
{
int i, j, m, n;
long sum, carry;
m = strlen(a) - 1;
n = strlen(b) - 1;
for (i = m; i >= 0; i--)
a[i] -= '0';
for (i = n; i >= 0; i--)
b[i] -= '0';
c[m + n + 2] = '/0';
carry = 0;
for (i = m + n; i >= 0; i--)
{
sum = carry;
if ((j = i - m) < 0)
j = 0;
for ( ; j<=i &&
j<=n; j++)
sum += a[i-j] * b[j];
c[i + 1] = sum % 10 + '0';
carry = sum / 10;
}
if ((c[0] = carry+'0') == '0')
c[0] = '/040';
}
效率分析：用以上算法计算 m位整数乘以n 位整数，需要先进行 m x n次乘法运算，再进行约 m
+ n次加法运算和 m + n次取模运算(实为整数除法)。把这个程序稍加修改，让它自己产生乘数与被乘
数，然后计算随机的 7200位整数互乘，在Cyrix 6x86 pr166机器的纯DOS方式下耗时 7秒(用Borland
C
3.1编译)。
经过改进，此算法效率可以提高约9 倍。
注意到以下事实：8216547 x 96785 将两数从个位起，每 3位分为节，列出乘法表，将斜线间的
数字相加；
8 216 547
96 785
768 20736 52512
6280 169560 429395
768 27016 222072 429395
将表中最后一行进行如下处理：从个位数开始，每一个方格里只保留三位数字，超出 1000 的部
分进位到前一个方格里；
768 27016 222072 429395
768+27 27016+222 222072+429
=795 =27238 =222501 395
795 238 501 395
所以8216547 x 96785 = 795238501395
也就是说我们在计算生成这个二维表时，不必一位一位地乘，而可以三位三位地乘；在累加时也是满1000进位。这样，我们在计算 m位整数乘以
n位整数，只需要进行 m x n / 9次乘法运算，再进行约(m + n) / 3次加法运算和(m + n) /3
次取模运算。总体看来，效率约是前一种算法的 9倍。
有人可能会想：既然能够三位三位地乘，为什么不4位 4位甚至5位5位地乘呢？那不是可以提高 16 乃至 25
倍效率吗？听我解来：本算法在累加表中斜线间的数字时，如果用无符号长整数(范围
0至~4294967295)作为累加变量，在最不利的情况下(两个乘数的所有数字均是
9)，能够累加约4294967295/(999*999)=4300 次，也就是能够准确计算任意两个均不超过
12900(每次累加的结果"值"三位，故 4300*3=12900)位的整数相乘。如果 4 位 4
位地乘，在最不利的情况下，能够累加约4294967295/(9999*9999)=43 次，仅能够确保任意两个不超过 172
位的整数相乘，没有什么实用价值，更不要说5位了。
请看改进后的算法的实例程序：
该程序随机产生两个72xx位的整数，把乘数与积保存在 result.txt中。
在Borland C++ 3.1 中用
BCC -3 -O2 -G -mh -Z -f287 -pr -T- dashu.cpp
编译生成的exe文件在Cyrix 6x86 pr166的机器上运行耗时0.82 秒。
程序 2 清单：
#include<conio.h>
#include<string.h>
#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>
#include<time.h>
#define N 7200 //作 72xx 位的整数乘法
int max(int,int,int);
int initarray(int a[]);
void write(int a[],int l);
FILE *fp;
void main()
{
int a[5000]={0},b[5000]={0},k[10001]={0}; //声明存放乘数、被乘数与积的数组
clock_t start, end; //声明用于计时的变量
unsigned long c,d,e; //声明作累加用的无符号长整数变量
int i,j,la,lb,ma,mi,p,q,t; //声明其它变量
randomize(); //初始化随机数
la=initarray(a); //产生被乘数，并返回其长度
lb=initarray(b); //产生乘数，并返回其长度
if(la<lb) //如果被乘数长度小于乘数，则交换被乘数与乘数
{
p=(lb>la)?lb:la;
for (q=0;q<p;q++) //交换被乘数与乘数
t=a[q],a[q]=b[q],b[q]=t;
t=la,la=lb,lb=t; //交换被乘数的长度与乘数的长度
}
start = clock();//开始计时
c=d=0; //清空累加变量，其中 C 用于累加斜线间的数，d 用作进位标志
for(i=la+lb-2;i>=0;i--) //累加斜线间的数，i 为横纵坐标之和
{
c=d; //将前一位的进位标志存入累加变量 c
ma=max(0,i-la+1,i-lb+1); //求累加的下限
mi=(i>la-1)?(la-1):i; //求累加的上限
for(j=ma;j<=mi;j++) //计算出横纵坐标之和为 i 的
4000
单元内的数,并累加到 C
中
c+=(long)a[j]*b[i-j];
d=c/1000; //求进位标志
if(c>999)
c%=1000; //取 c 的末三位
k[i]=c; //保存至表示乘积的数组 k[]
}
e=k[0]+1000*d; //求出乘积的最高位
end = clock();//停止计时
fp = fopen("result.txt", "w+"); //保存结果到 result.txt
printf("/nThe elapsed time was: %3.4f/n", (end - start) /
CLK_TCK);
//打印消耗的时间
fprintf(fp,"%d",a[0]); //打印被乘数最高位
write(a,la); //打印被乘数其他位
fprintf(fp,"%d",b[0]); //打印乘数最高位
write(b,lb); //打印乘数其他位
fprintf(fp,"%ld",e); //打印乘积最高位
write(k,la+lb-1); //打印乘积其他位
fclose(fp);
}
max(int a,int b,int c)
{
int d;
d=(a>b)?a:b;
return (d>c)?d:c;
}
int initarray(int a[])
{
int q,p,i;
q=N+random(100);
if(q%3==0)
p=q/3;
else
p=q/3+1;
for(i=0;i<p;i++)
a[i]=random(1000);
if(q%3==0)
a[0]=100+random(900);
if(q%3==2)
a[0]=10+random(90);
if(q%3==1)
a[0]=1+random(9);
return p;
}
void write(int a[],int l)
{
int i;
char string[10];
for(i=1;i<l;i++)
{
itoa(a[i],string,10);
if (strlen(string)==1)
fprintf(fp,"00");
if (strlen(string)==2)
fprintf(fp,"0");
fprintf(fp,"%s",string);
if((i+1)%==0)
fprintf(fp,"/n");
}
fprintf(fp,"/n");
fprintf(fp,"/n");
}
|
|
|
|
