PCA方法从原理到实现

深度神经网路已经在语音识别，图像识别等领域取得前所未有的成功。本人在多年之前也曾接触过神经网络。本系列文章主要记录自己对深度神经网络的一些学习心得。

第五篇，谈谈PCA模型。本来PCA模型与深度学习是没有任何联系的。通常我们只是用PCA来对机器学习的数据做预处理。

本来想详细记录一下PCA的原理，但网上已经有一篇不错的文章，链接如下：

http://hi.baidu.com/ifengzh/item/8851b6387aebefc4382ffa60

本文前面部分内容引用了这篇文章的内容。

一、简介

PCA（Principal Components Analysis）即主成分分析，是图像处理中经常用到的降维方法，大家知道，我们在处理有关数字图像处理方面的问题时，比如经常用的图像的查询问题，在一个几万或者几百万甚至更大的数据库中查询一幅相近的图像。这时，我们通常的方法是对图像库中的图片提取响应的特征，如颜色，纹理，sift，surf，vlad等等特征，然后将其保存，建立响应的数据索引，然后对要查询的图像提取相应的特征，与数据库中的图像特征对比，找出与之最近的图片。这里，如果我们为了提高查询的准确率，通常会提取一些较为复杂的特征，如sift，surf等，一幅图像有很多个这种特征点，每个特征点又有一个相应的描述该特征点的128维的向量，设想如果一幅图像有300个这种特征点，那么该幅图像就有300*vector（128维）个，如果我们数据库中有一百万张图片，这个存储量是相当大的，建立索引也很耗时，如果我们对每个向量进行PCA处理，将其降维为64维，是不是很节约存储空间啊？对于学习图像处理的人来说，都知道PCA是降维的，但是，很多人不知道具体的原理，为此，我写这篇文章，来详细阐述一下PCA及其具体计算过程：

二、PCA原理

1、原始数据：
为了方便，我们假定数据是二维的，借助网络上的一组数据，如下：
x=[2.5, 0.5, 2.2, 1.9, 3.1, 2.3, 2, 1,1.5, 1.1]T

y=[2.4, 0.7, 2.9, 2.2, 3.0, 2.7, 1.6, 1.1, 1.6, 0.9]T
2、计算协方差矩阵
什么是协方差矩阵？相信看这篇文章的人都学过数理统计，一些基本的常识都知道，但是，也许你很长时间不看了，都忘差不多了，为了方便大家更好的理解，这里先简单的回顾一下数理统计的相关知识，当然如果你知道协方差矩阵的求法你可以跳过这里。
（1）协方差矩阵：
首先我们给你一个含有n个样本的集合，依次给出数理统计中的一些相关概念：
均值：


标准差：


方差：


既然我们都有这么多描述数据之间关系的统计量，为什么我们还要用协方差呢？我们应该注意到，标准差和方差一般是用来描述一维数据的，但现实生活我们常常遇到含有多维数据的数据集，最简单的大家上学时免不了要统计多个学科的考试成绩。面对这样的数据集，我们当然可以按照每一维独立的计算其方差，但是通常我们还想了解这几科成绩之间的关系，这时，我们就要用协方差，协方差就是一种用来度量两个随机变量关系的统计量，其定义为：



从协方差的定义上我们也可以看出一些显而易见的性质，如：




需要注意的是，协方差也只能处理二维问题，那维数多了自然就需要计算多个协方差，比如n维的数据集就需要计算CN2【此乃组合数基本公式】个协方差，那自然而然的我们会想到使用矩阵来组织这些数据。给出协方差矩阵的定义：



这个定义还是很容易理解的，我们可以举一个简单的三维的例子，假设数据集有三个维度{x,y,z}，则协方差矩阵为



可见，协方差矩阵是一个对称的矩阵，而且对角线是各个维度上的方差。
（2）协方差矩阵的求法：
协方差矩阵计算的是不同维度之间的协方差，而不是不同样本之间的。下面我们将在matlab中用一个例子进行详细说明：
首先，随机产生一个10*3维的整数矩阵作为样本集，10为样本的个数，3为样本的维数。

MySample = fix(rand(10,3)*50)

根据公式，计算协方差需要计算均值，那是按行计算均值还是按列呢，我一开始就老是困扰这个问题。前面我们也特别强调了，协方差矩阵是计算不同维度间的协方差，要时刻牢记这一点。样本矩阵的每行是一个样本，每列为一个维度，所以我们要按列计算均值。为了描述方便，我们先将三个维度的数据分别赋值：

dim1 = MySample(:,1);
dim2 = MySample(:,2);
dim3 = MySample(:,3);
%计算dim1与dim2，dim1与dim3，dim2与dim3的协方差：
sum( (dim1-mean(dim1)) .*(dim2-mean(dim2)) ) / ( size(MySample,1)-1 ) %得到  74.5333
sum( (dim1-mean(dim1)) .* (dim3-mean(dim3)) ) / ( size(MySample,1)-1 ) % 得到  -10.0889
sum( (dim2-mean(dim2)) .* (dim3-mean(dim3)) ) / ( size(MySample,1)-1 ) % 得到  -10***000
%搞清楚了这个后面就容易多了，协方差矩阵的对角线就是各个维度上的方差，下面我们依次计算：
std(dim1)^2 % 得到   108.3222
std(dim2)^2 % 得到   260.6222
std(dim3)^2 % 得到  94.1778
%这样，我们就得到了计算协方差矩阵所需要的所有数据，调用Matlab自带的cov函数进行验证：
cov(MySample)

可以看到跟我们计算的结果是一样的，说明我们的计算是正确的。但是通常我们不用这种方法，而是用下面简化的方法进行计算：
先让样本矩阵中心化，即每一维度减去该维度的均值，然后直接用新的到的样本矩阵乘上它的转置，然后除以(N-1)即可。其实这种方法也是由前面的公式通道而来，只不过理解起来不是很直观而已。大家可以自己写个小的矩阵看一下就明白了。其Matlab代码实现如下：

X = MySample –repmat(mean(MySample),10,1);    %中心化样本矩阵
C = (X’*X)./(size(X,1)-1)
%为方便对matlab不太明白的人，小小说明一下各个函数，同样，对matlab有一定基础的人直接跳过：
%B = repmat(A,m,n )   %%将矩阵 A复制 m×n块，即把 A 作为 B的元素，B由 m×n个 A平铺而成。B的维数是 [size(A,1)*m, (size(A,2)*n] 
%B = mean(A)的说明：
%如果你有这样一个矩阵：A = [1 2 3; 3 36; 4 6 8; 4 7 7];
%用mean(A)（默认dim=1）就会求每一列的均值
% ans =
%    3.0000    4.5000    6.0000
% 用mean(A,2)就会求每一行的均值 
% ans =
%     2.0000
%     4.0000
%     6.0000
%     6.0000
size(A,n)%% 如果在size函数的输入参数中再添加一项n，并用1或2为n赋值，则 size将返回矩阵的行数或列数。其中r=size(A,1)该语句返回的是矩阵A的行数， %c=size(A,2)该语句返回的是矩阵A的列数

上面我们简单说了一下协方差矩阵及其求法，言归正传，我们用上面简化求法，求出样本的协方差矩阵为：




3、计算协方差矩阵的特征向量和特征值
因为协方差矩阵为方阵，我们可以计算它的特征向量和特征值，如下：

[eigenvectors,eigenvalues] = eig(cov)

我们可以看到这些矢量都是单位矢量，也就是它们的长度为1，这对PCA来说是很重要的。
4、选择成分组成模式矢量
求出协方差矩阵的特征值及特征向量之后，按照特征值由大到小进行排列，这将给出成分的重要性级别。现在，如果你喜欢，可以忽略那些重要性很小的成分，当然这会丢失一些信息，但是如果对应的特征值很小，你不会丢失很多信息。如果你已经忽略了一些成分，那么最后的数据集将有更少的维数，精确地说，如果你的原始数据是n维的，你选择了前p个主要成分，那么你现在的数据将仅有p维。现在我们要做的是组成一个模式矢量，这只是几个矢量组成的矩阵的一个有意思的名字而已，它由你保持的所有特征矢量构成，每一个特征矢量是这个矩阵的一列。
对于我们的数据集，因为有两个特征矢量，因此我们有两个选择。我们可以用两个特征矢量组成模式矢量：



我们也可以忽略其中较小特征值的一个特征矢量，从而得到如下模式矢量：



5、得到降维后的数据



其中rowFeatureVector是由模式矢量作为列组成的矩阵的转置，因此它的行就是原来的模式矢量，而且对应最大特征值的特征矢量在该矩阵的最上一行。rowdataAdjust是每一维数据减去均值后，所组成矩阵的转置，即数据项目在每一列中，每一行是一维，对我们的样本来说即是，第一行为x维上数据，第二行为y维上的数据。FinalData是最后得到的数据，数据项目在它的列中，维数沿着行。
这将给我们什么结果呢？这将仅仅给出我们选择的数据。我们的原始数据有两个轴（x和y），所以我们的原始数据按这两个轴分布。我们可以按任何两个我们喜欢的轴表示我们的数据。如果这些轴是正交的，这种表达将是最有效的，这就是特征矢量总是正交的重要性。我们已经将我们的数据从原来的xy轴表达变换为现在的单个特征矢量表达。
说明：如果要恢复原始数据，只需逆过程计算即可，即：






到此为止，相信你已经掌握了PCA的原理了。

三 . PCA的应用

PCA及其改进算法主要应用的人脸识别领域，是人脸识别的经典算法之一。OpenCv2.4以后的版本实现了三种经典的人脸识别算法，其中就包括PCA。对openCv比较老的版本也可以调用PCA的算法去做，只是稍显复杂而已，网上有一篇博文如下：

http://www.cognotics.com/opencv/servo_2007_series/part_5/index.html

该代码运行在openCv2.1之前的版本当中，但是该代码有个重要的bug就是特征数K被设置为固定的值，而选择更小的值的时候，代码会crash。

PCA另外一个主要的用途是作为其他算法的预处理，术语叫做数据的白化。由于PCA具有压缩数据的作用，所以可以认为经过PCA处理过之后的数据是不相关的，但一般未必是独立的。实际可用的PCA算法一般不是以解析解的形式给出的，而是在线学习算法。有很多的原因决定了只能使用在线学习算法。在线学习算法主要有基于神经网络学习的算法和递归最小二乘法，相关的文献如下：

http://wenku.baidu.com/view/c91f31c058f5f61fb73666f8.html

要注意的是openCv的实现不是在线学习算法。

四. PCA 的实现

前面已经谈到了PCA的实现分为解析解和在线学习算法。解析解适合于数据量小并且数据完全已知的情况下，这里给出一种高效的解析解的实现代码。

4.1 数据结构定义及API说明如下：

#ifndef _FCE__PCA__H__
#define _FCE__PCA__H__

#define HIGH_PRECISON

#ifdef HIGH_PRECISON
#define real float
#else
#define real double
#endif

#ifdef _cplusplus
{
extern "C"
#endif

typedef struct _FCE_PCA{
	int count; //the number of sample
	int n;     // the number of features
	real *covariance;
	real *mean;
	real *z;
}FCE_PCA;

FCE_PCA *fce_pca_init(int n);

void fce_pca_push_add(FCE_PCA *pca, real *v);

int  fce_pca_solve_eig(FCE_PCA *pca, real *eigenvector, real *eigenvalue);

void fce_pca_free(FCE_PCA *pca);

#ifdef _cplusplus
}
#endif

#endif

函数 fce_pca_push_add 用于把每一个样本点添加到PCA模型之中，例如，一个人脸的样本数据。
函数 fce_pca_solve_eig 采用雅克比迭代法快速求解对称矩阵的特征值和特征向量，其它两个函数分别用以创建PCA模型和释放PCA模型。

4.2 各函数的实现

#include "fce_pca.h"

#define FCE_MIN(i,j)   (((i) > (j)) ? (j) : (i))
#define FCE_MAX(i,j)   (((i) > (j)) ? (i) : (j))

FCE_PCA *fce_pca_init(int n){
	FCE_PCA *pca;
	real zero = 0.0;
	if(n <= 1)
		return NULL;

	pca = (FCE_PCA* )malloc(sizeof(FCE_PCA));
	if (pca == NULL){
		return NULL;
	}
	
	pca->n = n;
	pca->z = (real* )malloc(sizeof(*pca->z) * n);
	if (pca->z == NULL){
		free(pca);
		return NULL;
	}
	
	memset(pca->z, zero, sizeof(*pca->z) * n);

	pca->count=0;
	pca->covariance= (real* )malloc(sizeof(real) * n * n);
	if (pca->covariance == NULL){
		free(pca->z);
		free(pca);
		return NULL;
	}
	
	memset(pca->covariance, zero, sizeof(real) * n * n);

	pca->mean = (real* )malloc(sizeof(real) * n);
	if (pca->mean == NULL){
		free(pca->covariance);
		free(pca->z);
		free(pca);
		return NULL;
	}
	
	memset(pca->mean, zero, sizeof(real) * n);

	return pca;
}

void fce_pca_free(FCE_PCA *pca){
	free(pca->covariance);
	free(pca->mean);
	free(pca->z);
	free(pca);
}

void fce_pca_push_add(FCE_PCA *pca, real *v){
	int i, j;
	const int n = pca->n;
	for(i = 0; i < n; i++){
		pca->mean[i] += v[i];
		for(j = i; j < n; j++)
			pca->covariance[j + i * n] += v[i]*v[j];
	}
	pca->count++;
}

int fce_pca_solve_eig(FCE_PCA *pca, real *eigenvector, real *eigenvalue){
	int i, j, pass;
	int k = 0;
	const int n = pca->n;
	real *z = pca->z;
	real zero = 0.0;

	memset(eigenvector, zero, sizeof(real)*n*n);

	for(j = 0; j < n; j++){
		pca->mean[j] /= pca->count;
		eigenvector[j + j * n] = 1.0;
		for(i = 0; i <= j; i++){
			pca->covariance[j + i * n] /= pca->count;
			pca->covariance[j + i * n] -= pca->mean[i] * pca->mean[j];
			pca->covariance[i + j * n] = pca->covariance[j + i * n];
		}
		eigenvalue[j] = pca->covariance[j + j*n];
		z[j] = 0;
	}

	for(pass=0; pass < 50; pass++){
		real sum = 0;
		for(i = 0; i < n; i++)
			for(j = i+1; j < n; j++)
				sum += fabs(pca->covariance[j + i * n]);

		if(sum == 0){
			for(i = 0; i < n; i++){
				real maxvalue = -1;
				for(j = i; j < n; j++){
					if(eigenvalue[j] > maxvalue){
						maxvalue = eigenvalue[j];
						k= j;
					}
				}
				eigenvalue[k] = eigenvalue[i];
				eigenvalue[i] = maxvalue;
				for(j = 0; j < n; j++){
					real tmp = eigenvector[k + j * n];
					eigenvector[k + j * n] = eigenvector[i + j * n];
					eigenvector[i + j * n] = tmp;
				}
			}
			return pass;
		}

		for(i = 0; i < n; i++){
			for(j = i + 1; j < n; j++){
				real covar = pca->covariance[j + i * n];
				real t,c,s,tau,theta, h;

				if(pass < 3 && fabs(covar) < sum / (5*n*n)) 
					continue;
				if(fabs(covar) <= 0.00000000001) 
					continue;
				if(pass >=3 && fabs((eigenvalue[j]+z[j])/covar) > (1LL<<32) && fabs((eigenvalue[i]+z[i])/covar) > (1LL<<32)){
					pca->covariance[j + i * n]=0.0;
					continue;
				}

				h = (eigenvalue[j] + z[j]) - (eigenvalue[i] + z[i]);
				theta = 0.5 * h/covar;
				t = 1.0 /(fabs(theta) + sqrt(1.0 + theta * theta));
				if(theta < 0.0) t = -t;

				c = 1.0 /sqrt(1 + t * t);
				s = t * c;
				tau = s /(1.0 + c);
				z[i] -= t * covar;
				z[j] += t * covar;

#define ROTATE(a,i,j,k,l) {\
	real g =a[j + i*n];\
	real h =a[l + k*n];\
	a[j + i*n] = g - s * (h + g * tau);\
	a[l + k*n] = h + s * (g - h * tau); }
				for(k = 0; k < n; k++) {
					if(k != i && k != j){
						ROTATE(pca->covariance,FCE_MIN(k,i),FCE_MAX(k,i),FCE_MIN(k,j),FCE_MAX(k,j))
					}
					ROTATE(eigenvector,k,i,k,j)
				}
				pca->covariance[j + i * n]=0.0;
			}
		}
		for (i = 0; i < n; i++) {
			eigenvalue[i] += z[i];
			z[i]=0.0;
		}
	}

	return  0;
}