[数字信号处理]使用窗函数设计FIR滤波器

1.设计参数    

    首先，先明白几个概念。通带，阻带，过渡带，通带纹波和阻带纹波分别是什么？看下图，



       范围

称为通带，对于允许误差而言，

这个范围，称为通带纹波。同样的，对于范围

则是阻带，

这个范围，称为阻带纹波。中间的黑色部分是过度带。角频率

称为通带边缘频率，

角频率则被称为阻带起始频率。
       通常的滤波器的设计，都会指明这几个参数，最后设计的滤波器，必须满足这几个参数。当然，这里举得例子是低通滤波器的，高通或者带通，就与之相反了。

2.理想FIR低通滤波器

      首先，先由理想低通滤波器为出发点开始考虑。理想低通滤波器的频响如下所示



       这里的

，表示截止频率。
       先由理想的滤波器出发，求其理想滤波器的单位冲击响应。得到了单位冲击响应，也就得到了滤波器的系数。这样，我们就设计出了一个理想的滤波器。这是一个完美的想法，那么开始动手吧，寻找他的单位冲击响应。运用离散时间的傅里叶逆变换，有如下的式子。



       由此，我们得到了一个单位冲击响应的表达式（sinc是辛格函数），到这我们就可以设计出一个理想的滤波器了吗？好吧，让我们再确认一遍。第一，这个式子是离散的。对于单位冲击响应，本来就应该是离散的，没有错，很好，我们距离理想滤波器又近了一步。第二，这个式子所求出的单位冲击响应的个数，很不幸！个数是无限的。到这里，我们基本可以确定了，理想滤波器是实现不了的。
       虽然理想滤波器是实现不了的，但是我们可以退一步，从无限的理想滤波器的单位冲击响应中，在选择一部分冲击响应，构成一个不太理想的，但又达到一定标准的滤波器。我们只能“将就”着使用这个不太理想的滤波器，那么接下来还有一个问题，我们要如何从无限的数列中选择出有限的一部分，从而达到我们的设计要求。

3.窗函数

       首先，我们先考虑最简单的情况。对于理想单位冲击响应而言，其形状大概和一个高斯分布很像（当然，只是很像，n=0时候，单位冲击响应的值最大，由两边慢慢减少。当然，可能也出现负值。）！所以，我们为了能使得滤波器的性能接近理想滤波器，那么，我们选择其最主要的部分，也就是，值较大的部分。其余部分则放弃。根据之前的叙述，我们可以使用如下式子表示。



      这个式子确实可以帮助我们选择一部分有限的数列。而这个式子，被称为矩形窗。可以看出，Ｎ越大，性能越街进理想滤波器。这里Ｎ称为窗函数的长度。
      这就是我们选定的窗口，然后我们把窗口函数加上，也就是加窗！其实也就一个乘法，如下所示。



　　这样，也就完成了一个加窗。
　　但是，在实际的实践过程中，很少用矩形窗的。其原因是，矩形窗的阻带衰减不够，仅仅只有21[dB]。于是，各种各样的窗口就被提出了。各有各的特点，在我们所学的初步的设计中，我们就仅仅看阻带衰减就够了。各种窗函数的性能如下。
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      窗函数                       过渡带大小                       阻带衰减                               
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  矩形窗                           1.8π/N                                  21[dB]
  汉宁窗                            6.2π/N                                 44[dB]
  汉明窗                            6.6π/N                                 53[dB]
布莱克曼窗                        11π/N                                 74[dB]

4.用窗函数实现一个FIR滤波器

       以上说了很多有关于窗函数的原理，现在来整理一下设计的步骤。
       1.根据设计的规格，参数要求，我们选择一个适合的窗函数。这里主要我们还是看阻带衰减，阻带衰减要大于给定的值。一般，若没有给定阻带衰减，我们则需要通过通带纹波和阻带纹波去求，如下。



      2.根据要求的通带边缘频率和阻带起始频率，计算过度区的大小，从而计算出窗函数的长度。
      3.最后，根据窗函数和理想滤波器的单位冲击响应，计算出我们所需要的滤波器的单位冲击响应。
      现在，我们来实战一下，假设我们需要设计如下滤波器。
    


       规格中，没有给定阻带衰减，我们只能自己计算。
   


       这里，阻带衰减为40.8[dB]，我们选择的窗的阻带衰减不能比这个小，这里其实汉宁窗就可以做到。但我还是选择用汉明窗去做。然后，计算窗长度。



      
        窗长度有了，计算单位冲击响应吧。
  


       这样，我们就得到了一个FIR滤波器。下面是我们计算出来的这个滤波器的单位冲击响应。



    

       5.写在最后的话

       到此，我们“设计”出了一个滤波器，我们也顺利的得出了它的单位脉冲响应。
       但是，滤波器真的可以实现么？真的可以设计出这样一个滤波器么？
       我觉得要拿着这个单位脉冲响应结果，去实际计算一下，才能发现，这样的滤波器是实现不了的！拿教科书上的话来说，这个滤波器是非因果的！

        这个问题的解决方法，和窗函数的FIR设计代码的实现在下一节[数字信号处理]单位冲击响应的频响与FIR的实现代码（C语言）。

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