动态查找之平衡二叉树(AVL)

AVL出现的原因：

BST是一种查找效率比较高的组织形式，但其平均查找长度受树的形态影响较大，形态比较均匀时查找效率很好，形态明显偏向某一方向时其效率就大大降低。

因此，希望有更好的二叉排序树，其形态总是均衡的，查找时能得到最好的效率，这就是平衡二叉排序树。

AVL的定义：

平衡二叉树或者是空树，或者是满足下列性质的二叉树。

⑴：左子树和右子树深度之差的绝对值不大于1；

⑵：左子树和右子树也都是平衡二叉树。

结点类型定义如下：

typedef struct BNode

{ KeyType key ; /* 关键字域 */

int Bfactor ; /* 平衡因子域 */【左子树的深度减右子树的深度】

… /* 其它数据域 */

struct BNode *Lchild , *Rchild ;

}BSTNode ;

平均查找长度：和㏒2n是一个数量级的

平衡化旋转：（构造平衡二叉排序树的方法）

失衡结点：结点的平衡因子和子树深度都会发生变化；

查找失衡结点：沿着插入结点上行到根结点就能找到某些结点；

1 LL型平衡化旋转

失衡原因：在结点a的左孩子的左子树上进行插入，插入使结点a失去平衡。

平衡化旋转方法：通过顺时针旋转操作实现

用b取代a的位置，a成为b的右子树的根结点，b原来的右子树作为a的左子树。



2 LR型平衡化旋转

失衡原因：在结点a的左孩子的右子树上进行插入，插入使结点a失去平衡。

平衡化旋转方法：先进行一次逆时针旋转，再进行一次顺时针旋转



3 RL型平衡化旋转

失衡原因：在结点a的右孩子的左子树上进行插入，插入使结点a失去平衡，与LR型正好对称。

平衡化旋转方法：先进行一次顺时针旋转，再进行一次逆时针旋转



4 RR型平衡化旋转

失衡原因：在结点a的右孩子的右子树上进行插入，插入使结点a失去平衡。

平衡化旋转方法：进行一次逆时针旋转，与LL型正好对称



其上旋转的正确性由“遍历所得中序序列不变”来证明

AVL树的插入：

①：按照二叉排序树的定义，将结点s插入；

②：在查找结点s的插入位置的过程中，记录离结点s最近且平衡因子不为0的结点a，若该结点不存在，则结点a指向根结点；

③： 修改结点a到结点s路径上所有结点的；

④：判断是否产生不平衡，若不平衡，则确定旋转类型并做相应调整。