算法题目二：寻找最长重复子序列(3) 后缀树

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仅为个人学习备份之用途，无任何其他用途！

 

写这篇文章，主要是因为最近有个课题设计，里面用的字符串匹配。

学习后缀树之前，先了解一下Trie这个数据结构

Trie是一种搜索树，可用于存储并查找字符串。Trie每一条边都对应一个字符。在Trie中查找字符串S时，只要按顺序枚举S的各个字符，从Trie的根节点开始选择相应的边走，如果枚举完的同时恰好走到Trie树的叶子节点，说明S存在于Trie中。如果未到达叶子节点，或者枚举中未发现相应的边，则S没有被包含在Trie中。

后缀树就是一种压缩后的Trie树。
比如 S：banana，对S建立后缀树。
首先给出S的后缀们
0：banana
1：anana
2：nana
3：ana
4：na
5：a
6：空
为了更清楚的表示后缀，我们在后缀的后面加上$
0：banana$
1：anana$
2：nana$
3：ana$
4：na$
5：a$
6：$

然后对其进行分类：
5: a$
3: ana$
1: anana$

0: banana$

4: na$
2: nana$

6: $

后缀树的应用：
example 1：在树中查找an(查找子字符串)
example 2：统计S中出现字符串T的个数
没出现一次T，都对应着一个不同的后缀，而这些后缀们又对应着同一个前缀T，因此这些后缀必定都属于同一棵子树，这棵子树的分支数就是T在S中出现的次数。

example 3：找出S中最长的重复子串，所谓重复子串，是指出现了两次以上
首先定义节点的 ”字符深度“ = 从后缀树根节点到每个节点所经过的字符串总长。找出有最大字符深度的非叶节点。则从根节点到该非叶节点所经过的字符串即为所求。

后缀树的存储：
为了节省空间，我们不在边上存储字符串，而是存储该字符串在原串中的起止位置。空间复杂度O（n）

后缀树的构造：
最简单的方法，使用Trie的构造方法，时间复杂度为O（n^2）
后缀树也可以在O（n）的时间复杂度内构造，但比较复杂
如
基本思路：先向后缀树中插入最长的后缀串（S本身），其次插入次长的后缀串，以此类推，最后插入空串。
定义后缀链接（Suffix Link）=从节点A指向节点B的指针，B所表示的子串是A所表示的子串的最长后缀。既，根节点到A所经过的字符串s=aw，则从根节点到B所经过的字符串为w。

算法所用符号描述：

后缀树的构造，算法流程：
1）定义SL（root）=root，首先插入S，此时后缀树仅有两个节点。
2）设已经插入了S(i),现在要插入S（i+1），分两种情况讨论：
1：P（S（i））在插入之前已经存在，（如，na，ana，a是na的parent），则P（S（i））有后缀链接，令u=SL（P（S（i））），从u开始沿着树往下查找，在合适的地方插入
2：P（S（i））是插入S（i）过程中产生的，此时G（S（i））必定存在并有后缀链接，比如（na，ana，bana），令u=SL（G（S（i））），w=W(G（S（i））,P（S（i））).从u开始，对w进行快速定位，并找到节点v（v可能需要分割边来得到）。令SL（G（S（i）））指向v，从v开始沿着树往下查找，在合适的地方插入新的节点
不断重复以上步骤，即可完成后缀树的构造。

 
2,后缀树的用途，总结起来大概有如下几种 
 
(1). 查找字符串o是否在字符串S中。 
 
方案：用S构造后缀树，按在trie中搜索字串的方法搜索o即可。 
 
原理：若o在S中，则o必然是S的某个后缀的前缀。 
 
例如S: leconte，查找o: con是否在S中,则o(con)必然是S(leconte)的后缀之一conte的前缀.有了这个前提，采用trie搜索的方法就不难理解了。 
 
(2). 指定字符串T在字符串S中的重复次数。 
 
方案：用S+’$'构造后缀树，搜索T节点下的叶节点数目即为重复次数 
 
原理：如果T在S中重复了两次，则S应有两个后缀以T为前缀，重复次数就自然统计出来了。 
 
(3). 字符串S中的最长重复子串 
 
方案：原理同2，具体做法就是找到最深的非叶节点。 
 
这个深是指从root所经历过的字符个数，最深非叶节点所经历的字符串起来就是最长重复子串。 
 
为什么要非叶节点呢?因为既然是要重复，当然叶节点个数要>=2。 
 
(4). 两个字符串S1，S2的最长公共部分 
 
方案：将S1#S2$作为字符串压入后缀树，找到最深的非叶节点，且该节点的叶节点既有#也有$(无#)。