Floyd算法的证明
2013-04-24 23:27
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Floyd算法的证明
Floyd算法求每个点间的最短路径:void floyd()
{
for(k=0;k<n;k++)
for(i=0;i<n;i++)
for(j=0;j<n;j++)
A[i][j]=min(A[i][j],A[i][k]+A[k][j]);
}
设有n的结点,Ak(i,j)为从i到j但不经过索引大于k的结点的最短路径长度.则有:
A(i,j)=min{min1<=k<=n{Ak-1(i,k)+Ak-1(k,j)},cost(i,j)}
显然,A0(i,j)=cost(i,j),1<=i<=n,1<=j<=n.
以以下方法可以得到Ak(i,j)的递归公式:
从i到j且不经过索引大于k的结点的最短路径,可以经过索引为k的结点,也可以不经过.
如果经过,则Ak(i,j)=Ak-1(i,k)+Ak-1(k,j).
如果不经过,则所有中间结点的索引都不大于k-1,因此Ak(i,j)=Ak-1(i,j).
综上所述:
Ak(i,j)=min{Ak-1(i,j),Ak-1(i,k)+Ak-1(k,j)},k>=1
因为A0已知,可由此计算A1.同理:
在计算Ak(i,j)时,Ak-1(i,j),Ak-1(i,k),Ak-1(k,j)已经算出.
这些值将作为新值的基础,在确定之后不会改变.
由此自底而上地计算A1,A2,A3,…….最后得出An.
现在回过来想,floyd其实就一dp吧......07-02-09
原文地址:http://hi.baidu.com/midnjhvjexefgtr/item/d793c0b2f0ba44a5eaba93d7
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