网络流与线性规划24题09方格取数问题

问题描述：

在一个有m*n 个方格的棋盘中，每个方格中有一个正整数。现要从方格中取数，使任

意2 个数所在方格没有公共边，且取出的数的总和最大。试设计一个满足要求的取数算法。编程任务：

对于给定的方格棋盘，按照取数要求编程找出总和最大的数。

数据输入：

由文件input.txt提供输入数据。文件第1 行有2 个正整数m和n，分别表示棋盘的行数

和列数。接下来的m行，每行有n个正整数，表示棋盘方格中的数。

结果输出:

程序运行结束时，将取数的最大总和输出到文件output.txt中。

输入示例 输出示例

3 3 11

1 2 3

3 2 3

2 3 1

分析：

二分图最大点权独立集问题。最大独立集和最小覆盖数是互补的。所以这题就转化为了求最小点权覆盖集。最小点权覆盖集就是最小简单割，最小割又可以用网络流解。

故，最大点权独立集 = 所有点权 - 最小点权覆盖集 = 所有点权 - 最小割集 = 所有点权 - 网络最大流。

建模方法也简单，就是染色使所有相邻的点颜色不一样，两种颜色对应二分图XY顶点，然后所有X顶点若和Y顶点相邻，则加一条无穷容量的边，S向所有X顶点加容量为点权的边，所有Y顶点向T点加容量为点权的边。然后求一次最大流即可。这题和02题比较相似。

这题思想很简单没什么变化的地方，所以代码也不需要什么注释了吧。

代码：

#include<vector>
#include<queue>
#include<cstdio>
#include<cstring>
using namespace std;
const int maxm = 30 ;
const int maxn = maxm * maxm;
const int INF = 1<<30;
struct edge{
int from,to,cap,flow;
edge(int a,int b,int c,int d):from(a),to(b),cap(c),flow(d){}
};
vector<int> g[maxn];
vector<edge> edges;
bool visit[maxn];
int d[maxn];
int cur[maxn];
int table[maxm][maxm];
int s,t;
void addedge(int from,int to,int cap)
{
edges.push_back(edge(from,to,cap,0));
edges.push_back(edge(to,from,0,0));
int m=edges.size();
g[from].push_back(m-2);
g[to].push_back(m-1);
}

bool BFS()
{
memset(visit,false,sizeof(visit));
d[s]=0;
queue<int> q;
q.push(s);
visit[s]=true;
while(!q.empty()){
int x=q.front();q.pop();
for(int i=0;i<g[x].size();i++){
edge &e=edges[g[x][i]];
if(!visit[e.to]&&e.cap>e.flow){
visit[e.to]=true;
d[e.to]=d[x]+1;
q.push(e.to);
}
}
}
return visit[t];
}
int DFS(int x,int a)
{
if(x==t||a==0) return a;
int flow=0,f;
for(int &i=cur[x];i<g[x].size();i++){
edge &e=edges[g[x][i]];
if(d[e.to]==d[x]+1&&(f=DFS(e.to,min(a,e.cap-e.flow)))>0){
flow+=f;
a-=f;
e.flow+=f;
edges[g[x][i]^1].flow-=f;
if(a==0) break;
}
}
return flow;
}
int main()
{
int r,c;
int sum=0;
scanf("%d%d",&r,&c);
for(int i=0;i<r;i++){
for(int j=0;j<c;j++){
scanf("%d",&table[i][j]);
sum+=table[i][j];
}
}
s=r*c;t=s+1;
for(int i=0;i<r;i++){
for(int j=0;j<c;j++){
if(((i+j)&1)==0){
addedge(s,i*c+j,table[i][j]);
if(i>0) addedge(i*c+j,(i-1)*c+j,INF);
if(j>0) addedge(i*c+j,i*c+j-1,INF);
if(i<r-1) addedge(i*c+j,(i+1)*c+j,INF);
if(j<c-1) addedge(i*c+j,i*c+j+1,INF);
}else addedge(i*c+j,t,table[i][j]);
}
}
int flow=0;
while(BFS()){
memset(cur,0,sizeof(cur));
flow+=DFS(s,INF);
}
printf("%d\n",sum-flow);
return 0;
}