矩阵变换与图片平移，旋转，缩放的原理

矩阵这个东西看起来很简单，但是我觉得要把它理解成某一种东西（比如说变换）还是有点难度。我在这个问题上面就困扰了很久。某一天，脑袋里面突然灵光一闪，貌似理解了一些，心中甚是欢喜，隧写下这篇文章，以至于以后有所帮助。

1.对矩阵的理解

我个人觉得矩阵就是一个用括号括起来的东西，除此之外没有什么感觉。但是转换这个东西就有点意思了。

比如说：我可以把它看成是一个函数，是某种准则或者是一个魔法箱。

T(X)=AX;

这就是一个矩阵转换，左边是一个函数（我是这样看的），右边是一个矩阵与向量X相乘。

先解释一下左边：

T(X)------------------我们知道函数是一种映射关系，我们给一个X值，经过这个函数的计算我们就可以得到另一个值。

同理，我们给一个向量X给这函数，那么这个函数会给一个输出的值（假设这个值也是向量）。经过这样变化，那么我们

可以这样理解，X进入T这个变换函数变成了另外一个X'，我认为这就是T对X进行的一次变换。不知道我理解的对不对，如果不对，希望高手指教

理解了变换了，接下来举一个例子：

例如一个向量X=（1,2）;我不知道这个具体的变换函数是什么，就用T表示

假设X经过T变换后，会得到另外一个向量X'=（5，6）；变换这个概念解决了，接下来就是怎么获得这个变换函数

2获取变换函数：

其实这个变换函数就是A矩阵。因为T(X)=AX;

很容易证明符合这个变换的矩阵是唯一，也就是说你求出来的A是只有一个的。

下面给出证明：

证明：T(X)=AX;A的唯一性；

X=IX;I是单位矩阵-------------------------X=[e1,......................en]X

[e1,......................en]是向量X的正交基底；

X=x1*e1+x2*e2+......................xn*en;

等式两边同时线性变换；

T(X)=T(x1*e1+x2*e2+......................xn*en);

=>T(X)=X[T(e1)...................T(en)]

所以A就是[T(e1)...................T(en)]；

证明过程完毕。

有证明结果可知A就是[T(e1)...................T(en)]；

那么我们想对X做变换，那我们先对这个基底做变换，求得A矩阵，然后就可以求得X'=AX;

变换之后的向量，

举个例子：

比如说我想把一下向量都旋转30度

a=(1,2); b=(3,4);c=(0,1);

根据上面的的说明，我首先得找到这些向量的正交基底，很显然是e1=(1,0);e2=(0,1);

然后我们对基底做变换，旋转30度，做顺时针旋转。

T(e1)=(cos(PI/6),-sin(PI/6)) T(e1)=(sin(PI/6),cos(PI/6));

所以A就是

cos(PI/6) sin(PI/6)

-sin(PI/6) cos(PI/6)

把以上向量a,b,c与A相乘一下，就获得了a,b,c旋转30的向量。

好了，写完了。