快速排序最好,最坏,平均复杂度分析
2013-03-11 19:25
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转自http://book.51cto.com/art/201108/287089.htm 很好的一篇详细数学分析快排复杂度的文章~
我们来分析一下快速排序法的性能。快速排序的时间性能取决于快速排序递归的深度,可以用递归树来描述递归算法的执行情况。如图9‐9‐7所示,它是{50,10,90,30, 70,40,80,60,20}在快速排序过程中的递归过程。由于我们的第一个关键字是50,正好是待排序的序列的中间值,因此递归树是平衡的,此时性能也比较好。
在最优情况下,Partition每次都划分得很均匀,如果排序n个关键字,其递归树的深度就为.log2n.+1(.x.表示不大于x的最大整数),即仅需递归log2n次,需要时间为T(n)的话,第一次Partiation应该是需要对整个数组扫描一遍,做n次比较。然后,获得的枢轴将数组一分为二,那么各自还需要T(n/2)的时间(注意是最好情况,所以平分两半)。于是不断地划分下去,我们就有了下面的不等式推断。
也就是说,在最优的情况下,快速排序算法的时间复杂度为O(nlogn)。
在最坏的情况下,待排序的序列为正序或者逆序,每次划分只得到一个比上一次划分少一个记录的子序列,注意另一个为空。如果递归树画出来,它就是一棵斜树。此时需要执行n‐1次递归调用,且第i次划分需要经过n‐i次关键字的比较才能找到第i个记录,也就是枢轴的位置,因此比较次数为
,最终其时间复杂度为O(n2)。
平均的情况,设枢轴的关键字应该在第k的位置(1≤k≤n),那么:
由数学归纳法可证明,其数量级为O(nlogn)。
就空间复杂度来说,主要是递归造成的栈空间的使用,最好情况,递归树的深度为log2n,其空间复杂度也就为O(logn),最坏情况,需要进行n‐1递归调用,其空间复杂度为O(n),平均情况,空间复杂度也为O(logn)。
可惜的是,由于关键字的比较和交换是跳跃进行的,因此,快速排序是一种不稳定的排序方法。
我们来分析一下快速排序法的性能。快速排序的时间性能取决于快速排序递归的深度,可以用递归树来描述递归算法的执行情况。如图9‐9‐7所示,它是{50,10,90,30, 70,40,80,60,20}在快速排序过程中的递归过程。由于我们的第一个关键字是50,正好是待排序的序列的中间值,因此递归树是平衡的,此时性能也比较好。
图9-9-7 |
T(n)≤2T(n/2) +n,T(1)=0 T(n)≤2(2T(n/4)+n/2) +n=4T(n/4)+2n T(n)≤4(2T(n/8)+n/4) +2n=8T(n/8)+3n …… T(n)≤nT(1)+(log2n)×n= O(nlogn)
也就是说,在最优的情况下,快速排序算法的时间复杂度为O(nlogn)。
在最坏的情况下,待排序的序列为正序或者逆序,每次划分只得到一个比上一次划分少一个记录的子序列,注意另一个为空。如果递归树画出来,它就是一棵斜树。此时需要执行n‐1次递归调用,且第i次划分需要经过n‐i次关键字的比较才能找到第i个记录,也就是枢轴的位置,因此比较次数为
,最终其时间复杂度为O(n2)。
平均的情况,设枢轴的关键字应该在第k的位置(1≤k≤n),那么:
就空间复杂度来说,主要是递归造成的栈空间的使用,最好情况,递归树的深度为log2n,其空间复杂度也就为O(logn),最坏情况,需要进行n‐1递归调用,其空间复杂度为O(n),平均情况,空间复杂度也为O(logn)。
可惜的是,由于关键字的比较和交换是跳跃进行的,因此,快速排序是一种不稳定的排序方法。
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