多变量非线性方程求解问题（牛顿迭代法）

        关于多变量的多元函数，我们求解考虑解的问题与单变量是极其类似的。考虑在x处的一阶泰勒展开，我们有0=f(x0)=f(x)+j(x)(x-x0)(后面的等号近似成立，j表示jacobian矩阵.

       我们以一个例题来说明牛顿迭代法：

考虑这个问题：求解方程组

x^2+y^2-5=0 

(x+1)*y-3*y-1=0

假设给定初值（0,1），那么牛顿迭代法的R程序如下：

f1<-function(x){
f<-c(x[1]^2+x[2]^2-5,(x[1]+1)*x[2]-3*x[1]-1)
j<-matrix(c(2*x[1],2*x[2],x[2]-3,x[1]+1),2,2,byrow=T)
list(f=f,j=j)
}
fthree<-function(f1,x,eps=1e-5){
repeat{
x1<-x
object<-f1(x)
x<-x-solve(object$j,object$f)
if((x-x1)%*%(x-x1)<eps){
return(x)
break
}
}
}


       这里要说明的是，把jacobian矩阵中的一阶偏导改为有限差分商矩阵M也是可以的，为了保证对称性，可以使用1/2(M+t(M))来代替M。这样做也避免了jacobian矩阵难求的问题。