HMM学习笔记_2(从一个实例中学习HMM前向算法)

HMM算法想必大家已经听说了好多次了，完全看公式一头雾水。但是HMM的基本理论其实很简单。因为HMM是马尔科夫链中的一种，只是它的状态不能直接被观察到，但是可以通过观察向量间接的反映出来，即每一个观察向量由一个具有相应概率密度分布的状态序列产生，又由于每一个状态也是随机分布的，所以HMM是一个双重随机过程。
HMM是语音识别，人体行为识别，文字识别等领域应用非常广泛。

一个HMM模型可以用5个元素来描述，包过2个状态集合和3个概率矩阵。其分别为

隐含状态S，可观测状态O，初始状态概率矩阵π，隐含状态概率转移矩阵A，观测状态转移概率矩阵 B。

HMM在实际应用中主要用来解决3类问题。

评估问题。

即给定观测序列 O=O1O2O3…Ot和模型参数λ=(A,B,π)，怎样有效计算这一观测序列出现的概率

解码问题。

即给定观测序列 O=O1O2O3…Ot和模型参数λ=(A,B,π)，怎样寻找满足这种观察序列意义上最优的隐含状态序列S。

学习问题。

即即HMM的模型参数λ=(A,B,π)未知，如何求出这3个参数以使观测序列O=O1O2O3…Ot的概率尽可能的大。

这篇文章是针对第一个问题来说的，一般采用的是前向后向算法来解决评估问题。这里将的是前向算法。

在此之前，先引入几个符号：

at(i) ： 表示到第t个观察值Ot时处于状态i。


： 表示在状态i下产生观察值 的概率。

现在来看一下前向算法的理论来源。

因为我们要解决的是模型估计问题。即计算概率

。将其利用如下公式化简：



因此首先要先计算


，其中Q为一给定的状态序列 。又有


。

其中



所以


。

因此最后求得



由此可以看见其计算复杂度非常大，为

。
为了解决这个问题，前向算法就出现了。首先定义了一个前向变量 。表示从1到t，输出符号o序列，t时刻处于状态i的累计输出概率。
因为前向变量有如下性质：
初值：


，且


，最后有递推关系：


。

为什么这样就可以简化计算复杂度呢？其原因很简单，因为每一次的at(i)，我们都可以用at-1(i)来计算，就不用重复计算了。如下示意图可以帮助我们形象的理解：



看了这么多公式，是不是头晕了？不急，下面看一个实例就会完全明白的。
题目：HMM模型如下，试通过前向算法计算产生观察符号序列O={ABAB}时每个时刻的 和总概率。



当然初始概率矩阵π=(1,0,0),即开始处于状态1。按照上面的公式理论，我们的递推依次解出at(i)。解法如下：
t=1时：



t=2时：



t=3时：



t=4时：



所以有最后的结果：



最后将其计算过程示意图表示如下：



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