关于除法与乘法逆元关系的一些理解

*表示普通乘法，/表示普通除法，⊙m表示模m乘法

首先可以证明<Zn，⊙m>是一个群，其中Zn为模m的简化剩余系

设x，y∈Zn，则有x，y与m互质，所以x⊙my = （x*y）mod m = z，z与m互质，z∈Zn，所以⊙m在Zn上是封闭

其单位元为1，且⊙m满足结合律，

利用公因数理论可知，x∈Zn，gcd(x, m) = 1,所以必存在y，使得（x*y) mod m = 1，设gcd(y, m) = k，则根据

（x*y) mod m = 1可知k必为1，所以y属于Zn，所以任意x∈Zn，存在逆元

设正整数A,B 与m互质且A/B = C，C为正整数, 已知(A/B) mod m = C mod m，设（a，b）=（A， B） mod m，证明

a ⊙m b^-1 = C mod m，其中b^-1表示b的逆元

首先不难得出C也与m互质，所以设c = C mod m，则c属于Zn

(A/B) mod m = c mod m

(A/B*b) mod m = c*b mod m ，另km+b = B，则对等式左边变形

(A/B*(km+b))mod m = (A/B*B) mod m = A mod m = c*b mod m

A*b^-1 mod m = c*b*b^-1mod m ,另 km+a = A，
对左边进行变形

A*b^-1 mod m = (km+a)*b^-1 mod m = a*b^-1 mod m = a ⊙m b^-1

对等式右边进行变形

c*b*b^-1 mod m = (c*((b*b^-1)mod m)) mod m = (c*(b⊙mb^-1))mod m = c

所以有a ⊙m b^-1 = c.

以后遇到答案对素数取模的运算，其中的除法可以用乘以其在<Zn，⊙m>的逆元来代替