对数学的好奇心驱使我们探索拓扑世界

记得，在中学时期，一个问题困扰我很久，很久：一个圆去掉圆周之后是个什么东西？它还有形状吗？其中的点会不会“流失”？一般而言，没有边界的几何形体是什么？这种好奇心始终得不到满足。
什么是“拓扑”？实际上，拓扑学是英文单词”Topology“的音译名词。Topology
= Top + ology，从英文字面上来看，就是关于“Top”的学问，意思是，“最高”的学问。反正拓扑学的来头不小。让我们在平面上“梦游”一番，如同进入虚幻世界，到处都是没有边界的大大小小的”圆盘“（disc)。这种圆盘的用处可大了。有限或无限个圆盘的“并集合”称为”开集“（OpenSet）。开集的形状各式各样，样子可能像一只小猫咪的相片。
一般而言，我们接受以下”开集公理“：拓扑空间是抽象集合X连同该集合X子集的”汇集“O，满足以下条件：
（1）该汇集O中的无限个集合的并集仍然在汇集O之中；
（2）该汇集O中的任何有限个集合的交急仍然然在汇集O之中
（3）集合X与空集∅均在O之中。
汇集O中的元素称为X的”开集“，开集的汇集O称为集合X上的一个“拓扑”，带有拓扑的集合X就叫做”拓扑空间“，也可以叫做”拓扑世界“。平常，这组公理就叫做”开集公理“。注意：开集的定义可以不依赖于”小圆盘“。但是，小圆盘可以成为拓扑的“基”（Dasic），生成整个”拓扑“。。
拓扑有什么用处呢？假定集合A是平面上的任意集。A是什么样子，谁也说不准。对集合A的元素a∈A，如果存在一个开集包含a，而且该开集又是集合A的子集，测称a是集合A的”内点“。集合A的全部内点构成集合A的”内部“。一含有个点a的任何开集，其中既有集合A的元素，也有不属于A的元素，则称这个点a是集合A的边界点。边界点的全部构成集合A的”边界“。一般讲，开集的补集叫做”闭集“（Closed
set）。
假定A⊆
X，如果含有点a的任何开集（也叫a的“开邻域”）均含有集合A的元素，称点a为集合A的”极限点“（limitpoint）。边界点是极限点，但是，反之未必。A的极限点的汇集构成集合A的”闭包“（Closer）。
回到直线上来讲，直线的”开集“是由许多开区间（a,b）构成的，散布在直线上。开区间的端点就是它的边界点。开区间的闭包是相应的闭区间。对于定义在开集上的函数，讨论其极限定义是没有问题的，定义域不会”出格“。比如，定义在闭集（开集的补集）的连续函数必有极值。有人好奇，无穷小在拓扑空间中怎么不见了？无穷小拓扑的学问可大了，切听下回分解。
说明：至此，我们已经讲了群、环、域三种代数结构，今天讲的是拓扑结构，代数加上拓扑就是现代数学了。这是一个基本概念。站在这个高度上回头看微积分就是”小山丘“了。考研数学就是在泥潭中无目的地乱扑腾。