关于运行时间的一些想法

递归贪心算法的伪代码如下:

RECURISIVE-ACTIVITY-SELECTOR(s,f,i,n)
m <- i+1
while( m<= n and s[m] < f[i])
do m <- m+1
if m<= n
then return {a[m]} +  RECURISIVE-ACTIVITY-SELECTOR(s,f,m,n)
else return empty

书上的结论是：假设活动已根据结束时间进行排序，那么该算法的运行时间为Θ(n)，对该运行时间进行分析

联想到QUICKSORT在最坏的情况下运行时间可以如下表示：T(n) = T(n-1) + Θ(n)，根据代换法，假设其运行时间为Θ(n^2)，不难证明。

贪心算法我捉摸如何将运行时间利用这样的递归形势表达出来，可是这样的伪代码，列不出这样的求解形式，所以着手于其他方法，我们这样理解：运行时间无非是比较次数，由于集合中每个元素在贪心算法中只是比较了1次，那么运行时间即为Θ(集合元素个数)。

由此想总结下几个的伪代码的运行时间：

分支合并算法

MERGE-SORT(A,p,r)
if p < r
then q <- (p+r)/2
MERGE-SORT(A,p,q)
MERGE-SORT(A,q+1,r)
MERGE(A,p,q,r)

T(n) = 2T(n/2) + Θ(n)，运行时间为Θ(nlg(n))

遍历二叉查找树

INORDER-TREE-WALK(x)
if  x != NIL
then INORDER-TREE-WALK(left[x])
print key[x]
INORDER-TREE-WALK(right[x])

T(n) = T(k) + T(n - k -1) + d

用替代法 T(n) = (c + d)n +c，从而证明 T(n) = Θ(n)

矩阵链乘法的递归式

RECURISIVE-MATRIX-CHAIN(p,i,j)
if i = j
then return 0
m[i,j] = ∞
for k <-- i to j-1
do q <--RECURISIVE-MATRIX-CHAIN(p,i,k)+RECURISIVE-MATRIX-CHAIN(p,k+1,j) + p[i-1]p[k]p[j]
if q < m[i,j]
then m[i,j] <--q
return m[i,j]

T(n) ≧ 1 + ∑(T(k) + T(n-k) + 1)

T(n) ≧ n +2* ∑(T(i))

利用替代法T(n) = Ω（2²）可以证明得到

因此递归法调用RECURUSIVE-MATRIX-CHAIN(p,1,n)的工作总量至少为n的指数

本文的由递归贪心算法的运行时间的求解，告之不是所有的运行时间都是要列出递归表达式，推广到一些典型的运行时间递归式，总结其运行时间，方便以后能快速运用