《算法导论》读书笔记——红黑树（Red Black Tree）【for_wind】

//好久没有写博文了，看过的书，做过的思考还是需要记录。--for_wind

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1、PPT总结：

（已经更新，不用资源分下载了，上面详细地解释了红黑树的算法，建议幻灯片看哦，当年写了好久阿）

http://download.csdn.net/detail/for_wind/7325727

2、具体代码：

（很久以前写的，现在放到github上了，仅供参考)

https://github.com/forwind/RedBlackTree


------------建议直接查看上面的PPT，以下为资料整理备份----------------------

红黑树是一种接近平衡的二叉查找树。

简介与性质：

红黑树，一种二叉查找树，但在每个结点上增加一个存储位表示结点的颜色，可以是Red或Black。 通过对任何一条从根到叶子的路径上各个结点着色方式的限制，红黑树确保没有一条路径会比其他路径长出两倍，因而是接近平衡的。

满足以下5条性质：

1、每个节点或是红，或是黑；

2、根节点是黑的；

3、每个叶子节点是黑的；

4、如果一个节点是红的，则其两个儿子节点都是黑的；

5、对于每个节点，从该节点到其子孙节点的所有路径上包含相同数目的黑节点。

必须牢记：在红黑树上的几个操作（旋转、插入、删除）结束后，形成的新树必须依旧保持5条红黑性质。

引理：

一棵有n个内节点的红黑树的高度至多为2lg（n+1）

以上引理能很好地说明为何红黑树是一种好的查找树。

几点疑惑：

为何只要同时满足红黑树的这些条件，就一定会有“红黑树可以保证任何两条从根部到树叶的路径节点个数相差不超过2倍”这个平衡的性质？

假设，如果存在两条路径L和S，L比S长两倍以上（S路径上有n个节点，L上有大于2n个节点）。可知，S的黑高度最大只可能是n，那么根据第5条性质，L的黑高度也大也只可能是n，也就是，L路径上一定有超过n个红色节点（因为节点不是黑的就必定是红的）。所以，肯定会有两个以上的红色节点是相邻的。这就与第4个条件矛盾了。所以，红黑树可以保证任何两条从根部到树叶的路径节点个数相差不超过2倍。
红黑树和二叉查找树的关系如何？性能方面

由12章我们知道，二叉查找树上执行的基本动态集合操作（查找、插入、删除等）的时间是与树的高度成正比的。我们总是奢望这棵树的高度尽可能地降低，其各子树的规模尽可能地平均。最理想的情况形成完全二叉树：θ（lgn），最坏的情况：具有n个结点的线性链：O（n）。对于随机化构造来说，平均时间为θ（lgn），但是实际中，并不总能保证二叉查找树是随机构造成的。

红黑树通过其特别的节点着色方式的限制，让树尽可能平衡。由引理可知，红黑树能保证在最坏情况下，基本的动态集合操作的时间均为O（lgn）。红黑树是一种接近平衡的二叉查找树。

算法分析

本文总结了理解算法中可能会出现的疑惑。关于代码，我实现了C++版本的，如有需要，请留言。

简介

那么红黑树具体是如何实现的呢？

红黑树的查找、最大值、最小值、前趋、后继等操作，与普通的二叉搜索树没有什么区别。插入和删除操作需要重新实现。仅仅用普通的二叉搜索树的插入和删除动作，可能会破坏红黑树本身的一些性质，因此，需要进行额外的处理。这些额外的处理主要是修改某些节点颜色、修改指针结构。

旋转

指针结构的修改是通过旋转来完成的，这是一种能保持二叉查找树性质的查找树局部操作。共有两种：左旋，右旋。

理解要点：保持其性质（若改变了二叉查找树的性质，则结果是无意义的）；局部（参与的节点数目为2到5）。

插入

向红黑树插入节点，先将需要插入的节点设为红色，用普通二叉搜索树的方法将这个节点插入到树中，然后再想办法把被破坏的红黑性质恢复。
为何将新插入点设为红色？

插入黑点，会增加路径上黑点的数目，一定会破坏性质5

插入红点，

当其父节点为黑色时，不影响平衡，继续保持红黑性质

当其父节点为红色时，可能破坏性质2（根节点是黑色的）、性质4（红色节点的子节点一定是黑色节点），需要进行修正。

更多更好的解释，来自 ，详见本文最后部分。
Case 1下，为何设置z=p[p[z]]（ptrZ=ptrZ->parent->parent）并继续循环迭代？（P167 上伪代码RB_INSERT_FIXUP（T，z）中第8行、第2行）

因为p[p[z]]（ptrZ->parent->parent）被设置为红色后，

当p[p[z]]（ptrZ->parent->parent->parent）为红色（即新的红Z的父节点可能为红色）时，

符合case 1，仍旧破坏性质4（如果一个节点是红的，则其两个儿子节点都是黑的），因而执行上述操作循环修正。
通过左旋，右旋，以及恰当的颜色重设，能够有效继续保持性质5，进而将破坏的性质4修正

理解这一点非常重要。性质4（如果一个节点是红的，则其两个儿子节点都是黑的）在情况1，2，3中被破坏的原因是因为z和其父节点都是红色的。在恢复性质4的过程中，采用的操作可以破坏性质2，4，但是避免破坏性质5。因为性质5（对于每个节点，从该节点到其子孙节点的所有路径上包含相同数目的黑节点）破坏后更难恢复。

删除

详见摘录。

参考

以下摘录来着精彩分析：

为何将新插入点设为红色？关于红黑树插入节点的算法理解

博文地址：http://liyiwen.iteye.com/blog/345800 

将新插入的节点颜色设为红色，以尽量减少对红黑性质的破坏，红黑性质恢复起来也更快。插入红色节点，被破坏的部分会在局部，考虑的问题也就比较少，恢复过程也容易形成递归。

我们考虑下，如果一个红色节点（下文称用Z指向它）被插入到树中，那么有哪些红黑性质可能被破坏呢？只有第2条（根节点是黑色的）以及第4条（红色节点的子节点一定是黑色节点），其它都不会被破坏。

如果插入的节点的父节点是黑色的，那么不需要做任何调整，这红黑树是正常的。如果父节点是红色，或没有父节点（也就是插在了树根的位置），那么就要进行调整以保证红黑树是正确的。

首先对第4 条进行分析，我们知道，插入一个新的节点，这个节点肯定会被放到树的底部成为一个叶节点（参考普通二叉树的插入过程），那么这个红色节点就没有可能和自己的子节点同色（因为叶节点的子节点是NIL节点，都是黑色的），如果第4条被破坏的话，肯定是Z指向的节点的父节点是红色的。因此，为了使分析和解决更加容易和清晰，我们在对树进行调整以恢复红黑特性时，始终使得Z总是指向相邻红色的节点中的子节点（指针Z可能会向上升到树的中部或根部）。基于这个做法，我们可以知道，如果是第2条被破坏了的话，也就是Z指向根节点了，那么第4条肯定就符合了（因为Z的父节点是NIL，黑色的），因此对第2条性质的恢复变得很简单，只需要被根从红色变为黑色即可。这时，所有性质都会被满足了（因为是根节点，所以根节点被着为黑色时，所有路径都黑高会统一加1，也就是第5条不会被破坏，操作之后的红黑树仍然是正确的）。好了，现在只留下第4条性质的恢复的问题了。

如果第4条被破坏了，也就是说，Z的父节点是红色的，那么，说明，Z一定有祖父节点，而且是黑色的（否则插入前原树就有问题，又或是调整时的方法不正确）。因此可以把问题放到以Z的祖父节点为根节点的子树内进行解决，这样可以把调整的范围最小化，而且这也是有可能的：只要不改变这子树的黑高度，那么就不会对树的其它部分产生影响。我们要做的就是在这个子树范围内把红黑性质调整回来。再看子树的根是否与其父节点同为红色，是的话，就再次用前面所说的去解决它，一直向上递归到红黑性质被恢复为止。
关于红黑树删除节点的算法理解

博文地址：http://liyiwen.iteye.com/blog/345799

现在我们来看红黑性质的恢复过程：

如果Y指向的节点是个红色节点，那么直接删除掉Y以后，红黑性质不会被破坏。操作结束。
如果Y指向的节点是个黑色节点，那么就有几条红黑性质可能受到破坏了。

首先是包含Y节点的所有路径，黑高度都减少了1（第5条被破坏）。其次，如果Y的有红色子节点，Y又有红色的父节点，那么Y被删除后，就出现了两个相邻的红色节点（第4条被破坏）。最后，如果Y指向的是根节点，而Y的子节点又是红色的，那么Y被删除后，根节点就变成红色的了（第2条被破坏）。

其中，第5条被破坏是让我们比较难受的。因为这影响到了全局。这样动作就太大太复杂了。而且在这个条件下，进行其它红黑性质的恢复也很困难。所以我们首先解决这个问题：如果不改变含Y路径的黑高度，那么树的其它部分的黑高度就必须做出相应的变化来适应它。所以，我们想办法恢复原来含Y节点的路径的黑高度。做法就是把Y节点的黑色，推到它的子节点X上去。（X可能是NIL节点）。这样，X就可能具有双重黑色，或是同时具有红黑两色，也就是第１条性质被破坏了。

但第１条性质是比较容易恢复的：一、如果X是同时具有红黑两色，那么好办，直接把X涂成黑色，就行了。而且这样把所有问题都解决了。因为将X变为黑色，如果2、4两条性质有问题的话也会得到恢复。二、如果X是双黑色，那么我们希望把这种情况向上推，一直推到根节点（调整树结构和颜色，X的指向新的双黑色节点，X不断向上移动），让根节点具双黑色，这时，直接把X的一层黑色去掉就行了（因为根节点被包含在所有的路径上，所以这样做所有路径同时黑高减少1，不会破坏红黑特征）。

下面就具体地分析如何恢复1、2、4三条可能被破坏的红黑特性：我们知道，如果X指向的节点是有红黑两色，或是X是根节点时，只需要简单的对X进行一些改变就行了。要对除X节点外的其它节点进行操作时，必定是这样的情况：X节点是双层黑色，且X有父节点P。由知可知，X必然有兄弟节点W，而且这个W节点必定有两个子节点。（因为这是原树满足红黑条件要求而自然具备的。X为双黑色，那么P的另一个子节点以下一定要有至少两层的节点，否则高黑度不可能和X路径一致）。所以我们就分析这些节点之间如何变形，把问题限制在比较小的范围内解决。另一个前提是：X在一开始，肯定是树底的叶节点或是NIL节点，所以在递归向上的过程中，每一步都保证下一步进行时，至少
X的子树是满足红黑特性的。因此子树的情况就可以认为是已经正确的了，这样，分析就只限制在X节点，X的父节点P，X的兄弟节点W，以及W的两个子节点。这些个节点中。

本文的最后再推荐个关于红黑树算法的文章：

《教你透彻了解红黑树》http://blog.csdn.net/v_july_v/article/details/6105630