利用矩阵奇异值分解对图像进行压缩

最近学习线性代数的有关东西，在看到奇异值分解（svd）时，发现了一个在图像压缩上的应用。

奇异值分解：在线性代数中，我们知道对任意一个矩阵都存在奇异值分解，

，其中U和V是标准正交矩阵，而是一个对角矩阵，每一个对角元是该矩阵的奇异值，奇异值指的是矩阵的特征值开根号。其具体分解形式如下：



其中



将A展开得


将A看成一个图像的矩阵，上面和式的每一个分量按大小排序，越大，说明越重要。而后面的权很小，可以舍去，如果只取前面k项，则数据量为(m+n+1)k<<m*n因而达到了压缩图像的目的。

通过对比发现，当k=1/20 r时，能基本看清图像。当k=1/4r时基本看不出任何区别，对于长宽相等的图像，此时数据量占原数据量的2k/n,在测试图像中，这个数值为0.5 。可见图像压缩的效果是显著的。

处理结果如下：

原始图像：



k=1:



k=2:



k=3:



k=4:



k=21:



k=50:



k=105:



k=r=420:



附matlab测试代码：

SNum = 21;

I = imread('img.bmp');

h = size(I,1);

w = size(I,2);

R = I(:,:,1);

G = I(:,:,2);

B = I(:,:,3);

debug = 'RGB disposed'

Rd = im2double(R);

Gd = im2double(G);

Bd = im2double(B);

[Ur,Sr,Vr] = svd(Rd);

[Ug,Sg,Vg] = svd(Gd);

[Ub,Sb,Vb] = svd(Bd);

debug = 'end SVD decomposition'

Rt = zeros(h,w);

Gt = zeros(h,w);

Bt = zeros(h,w);

for i = 1:SNum

Rt = Rt + Sr(i,i)*Ur(:,i)*Vr(:,i)';

Gt = Gt + Sg(i,i)*Ug(:,i)*Vg(:,i)';

Bt = Bt + Sb(i,i)*Ub(:,i)*Vb(:,i)';

end

I2(:,:,1) = im2uint8(Rt);

I2(:,:,2) = im2uint8(Gt);

I2(:,:,3) = im2uint8(Bt);

imshow(I2);