快速排序中的堆栈深度

快速排序的伪代码如下：

QUICKSORT(A, p, r)
if p < r
q <- PARTITION(A, p, r)
QUICISORT(A, p, q-1)
QUICKSORT(A, q + 1, r)

可采用尾递归的方式减小堆栈的深度，即采用迭代控制结构替代第二次递归调用，尾递归在大多数的编译程序中都被采用。伪代码如下：

QUICKSORT(A, p, r)
while p < r
q <- PARTITION(A, p, r)
QUICISORT(A, p, q-1)
p <- q + 1

尽管此时平均堆栈深度已减小，但最坏情况下堆栈深度仍为θ(n)，如数组元素已有序的情况下进行快速排序。那如何减小最坏情况下的堆栈深度？

核心思想仍然是采用迭代控制结构替代递归调用。前一次的思想是执行PARTITION后，对数组的前一部分( A[p...q-1] )进行递归排序，对后一部分( A[q+1...r] )进行迭代控制运算。

假设每次执行PARTITION后，(q-1) - p + 1 : r-(q+1) +1 = a ( a > 0 )，则有
n * a ^ h = 1
=> h = - lgn / lga
a < 1/2 => h < lgn
a = 1/2 => h = lgn
a > 1/2 => h > lgn
因此，执行完PARTITION后，对元素个数少的那一部分进行递归排序，而对另一部分进行迭代运算，可使堆栈深度小于lgn。
伪代码如下：

QUICKSORT(A, p, r)
while p < r
q <- PARTITION(A, p, r)
if (q - 1) - p + 1 < r - (q + 1) + 1
QUICISORT(A, p, q-1)
p = q + 1
else
QUICKSORT(A, q + 1, r)
r = q - 1