母函数代码思路的详细解释

该文章建立在你已经看过母函数的相关数学知识的基础上，如果没有看过，建议看一下 hdu 论坛的母函数课件，传送门：http://acm.hdu.edu.cn/forum/read.php?tid=3853

用一个最简单的例子说明代码：

硬币面值有1元、5元、10元、25元、50元，一共5种，对于一个钱数 money，可以有多少中兑现方法？

很容易地构造母函数

G(x) = (x^0 + x^1 + x^2 + …) * (x^0 + x^5 + x^10 + …) * (x^0 + x^10 + x^20 + …)

* (x^0 + x^25 + x^50 + x^75 + …) * (x^0 + x^50 + x^100 + x^150 + …)

数学上的思路就拆开这个多项式因式，看看 x^money 的系数是多少。所以，编程的关键是如何实现拆分？

思路是 先把前面两个因式拆开，得到一个因式，代替第二个因式；然后用第二个因式（求出来的因式）和第三个因式相乘，代替第三个因式；递归计算到最后一个因式，得出结果。

由于便于编程的实现，我们在 G(x) 前面加多一个因式 (1*x^0 + 0*x^1 + 0*x^2 + … )，这个因式为1，所以并不改变母函数的值。把已经计算出来的因式的系数存放到一个数组 a 里面，把当前因式与下一个因式乘起来的因式的系数放到另外一个数组 b 里面。两个因式乘完了，就把 b 数组里面的数据放到 a 数组里面，把 b 数组清空，重复刚才的步骤，直到最后一个因式都乘进去了，才结束。此时，a 数据里面存放的就是拆分开来的多项式的系数。

代码如下：

#define M 500

int a[M];
int b[M];

void GenerationFunction()
{
int cent[5] = {1, 5, 10, 25, 50};
memset(a, 0, sizeof(a));
memset(b, 0, sizeof(b));
a[0] = 1; // 手动添加的一个多项式因式 (1*x^0 + 0*x^1 + 0*x^2 + … )
for(int i = 0; i < 5; i ++) // i 指向第几个多项式因式（从0开始算）
{
for(int j = 0; j < M; j ++)
{   // j 指向已经算出来的因式的指数，a[j] 存放的是指数为 j 的项的系数
for(int k = 0; j+k < M; k += cent[i])
{   // k 代表下一个因式的指数，因式的指数是隔 cent[i] 递增的。
// 另外，因式中，指数为 k 的项的系数为 1

b[j+k] += a[j]; // 对于 a[j] * x^j * x^k = a[j] * x^(j+k)
// 就把 x^(j+k) 的系数 a[j] 加到 存放当前答案的数组 b 里面
}
}
for(int j = 0; j < M; j ++)
{ // 把数组 b 元素滚动到 数组 a 去，以便递归进行乘法运算；另外，清空数组 b
a[j] = b[j];
b[j] = 0;
}
}
}

显而易见，a 数组和 b 数据是滚动操作的，可以用一个二维数组，外加一个滚动变量简单操作：

#define M 500

int ans[M];
int f = 0;

void GenerationFunction()
{
int cent[5] = {1, 5, 10, 25, 50};
memset(ans, 0, sizeof(ans));
ans[0][0] = 1; // 初始化第一个多项式因式
for(int i = 0; i < 5; i ++)
{
for(int j = 0; j < M; j ++)
{
for(int k = 0; j+k < M; k += cent[i])

{
ans[1-f][j+k] += ans[f][j];
}
}
memset(ans[f], 0, sizeof(ans[f])); // 清空当前数组，留待下一个循环用
f = 1 - f; // 修改滚动变量
}
}

看了两段代码。看过背包的童鞋一般都联想到背包去了。

对于要求的 money ，理解为背包的大小，每种硬币的面值理解为货物的大小，a[i] 就是选择到当前这个硬币，里面放 i 大小货物的方法数。如果题目中硬币无限个，就是完全背包，如果有些限制条件，就是修改版的完全背包。循环到最后，a[money] 就是选择完全部硬币，背包中放 money 大小货物的方法数，也就是把 money 元兑换成各种硬币的方法数。

当然，用母函数的思路理解代码，也是可以的。这样子的话，基本可以解决 hdu 那个课件里面的题目，除了 hdu 2069 Coin Change。

Coin Change 题目中，有一个要求，就是每一种兑换的方式，里面的硬币数量不超过 1000 个。用母函数怎么解决这个问题？参考背包的方法——加多一维！代码如下：

#define M 300

int ans[2][M][101];
int f = 0;

void GenerationFunction()
{
int cent[5] = {1, 5, 10, 25, 50};
ans[0][0][0] = 1; // 初始化
for(int i = 0; i < 5; i ++)
{
for(int j = 0; j < M; j ++)
{
for(int k = 0; j+k < M; k += cent[i])
{
for(int g = 0; g+k/cent[i] < 101; g ++)
{
// ans[][j][g] 表示放 j 大小的货物，并且用 g 个物品放，的方法数
ans[1-f][j+k][g+k/cent[i]] += ans[f][j][g];
}
}
}
memset(ans[f], 0, sizeof(ans[f]));
f = 1 - f;
}
}

看了几个代码，基本上，用母函数的思路敲出来的代码和用背包敲出来代码是基本一样的。这意味着母函数的思路其实是背包思路的一种。如果童鞋对于背包熟的话，基本可以很快地消化母函数的代码，当然，不熟悉背包的话，就像我一样，用母函数的思路敲代码。效果是一样的。

最后，把 hdu 那个课件最后一页的练习题粘到这里来：1028、1709、1085、1171、1398、2069、2152。

本文转自：http://www.cnblogs.com/lijunle/archive/2010/09/04/1817764.html