MATLAB　矩阵分解

(1) LU分解

A是非奇异的，LU分解总是可以进行的。

[L,U]=lu(X)：产生一个上三角阵U和一个变换形式的下三角阵L(行交换)，矩阵X必须是方阵。

[L,U,P]=lu(X)：产生一个上三角阵U和一个下三角阵L以及一个置换矩阵P，使之满足PX=LU。矩阵X必须是方阵。

实现LU分解后，线性方程组Ax=b的解x=U\(L\b)或x=U\(L\Pb)，这样可以大大提高运算速度。

例7-2  用LU分解求解例7-1中的线性方程组。

命令如下：

A=[2,1,-5,1;1,-5,0,7;0,2,1,-1;1,6,-1,-4];

b=[13,-9,6,0]';

[L,U]=lu(A);

x=U\(L\b)

或采用LU分解的第2种格式，命令如下：

[L,U ,P]=lu(A);

x=U\(L\P*b)

(2) QR分解

对矩阵X进行QR分解，就是把X分解为一个正交矩阵Q和一个上三角矩阵R的乘积形式。QR分解只能对方阵进行。MATLAB的函数qr可用于对矩阵进

行QR分解，其调用格式为：

[Q,R]=qr(X)：产生一个一个正交矩阵Q和一个上三角矩阵R，使之满足X=QR。

[Q,R,E]=qr(X)：产生一个一个正交矩阵Q、一个上三角矩阵R以及一个置换矩阵E，使之满足XE=QR。

实现QR分解后，线性方程组Ax=b的解x=R\(Q\b)或x=E(R\(Q\b))。

例7-3  用QR分解求解例7-1中的线性方程组。

命令如下：

A=[2,1,-5,1;1,-5,0,7;0,2,1,-1;1,6,-1,-4];

b=[13,-9,6,0]';

[Q,R]=qr(A);

x=R\(Q\b)

或采用QR分解的第2种格式，命令如下：

[Q,R,E]=qr(A);

x=E*(R\(Q\b))

(3) Cholesky分解

如果矩阵X是对称正定的，则Cholesky分解将矩阵X分解成一个下三角矩阵和上三角矩阵的乘积。设上三角矩阵为R，则下三角矩阵为其转置，

即X=R'R。MATLAB函数chol(X)用于对矩阵X进行Cholesky分解，其调用格式为：

R=chol(X)：产生一个上三角阵R，使R'R=X。若X为非对称正定，则输出一个出错信息。

[R,p]=chol(X)：这个命令格式将不输出出错信息。当X为对称正定的，则p=0，R与上述格式得到的结果相同；否则p为一个正整数。如果X为满

秩矩阵，则R为一个阶数为q=p-1的上三角阵，且满足R'R=X(1:q,1:q)。

实现Cholesky分解后，线性方程组Ax=b变成R‘Rx=b，所以x=R\(R’\b)。

例7-4  用Cholesky分解求解例7-1中的线性方程组。

命令如下：

A=[2,1,-5,1;1,-5,0,7;0,2,1,-1;1,6,-1,-4];

b=[13,-9,6,0]';

R=chol(A)

??? Error using ==> chol

Matrix must be positive definite

命令执行时，出现错误信息，说明A为非正定矩阵。