java算法：分治法

java算法：分治法

分治法用于算法设计的最重要实例：在一个程序中使用两个或多个递归调用。

例1：用分治法找到最大值

Java代码



static double max(double a[], int l, int r){

if(l == r){
return a[l];
}
int m = (l + r)/2;
double u = max(a, l , m);
double v = max(a, m + 1, r);
if(u > u){
return u;
}else{
return v:
}
}

static double max(double a[], int l, int r){
if(l == r){
return a[l];
}
int m = (l + r)/2;
double u = max(a, l , m);
double v = max(a, m + 1, r);
if(u > u){
return u;
}else{
return v:
}
}

分治法比简单的循环算法更加快捷。

一个有趣的例子：3个柱子和N个与柱子配套的盘子，盘子大小不同，从N（大）到1（小）的顺序放在其中一个柱子上。任务：移动到最右边的柱子上。一次只能移动一个，大的盘子不能放在小的盘子上。

例2：汉诺塔问题的递归分治法所产生的解决方法要移动2的N次方-1次。

Java代码



static void hannoi(int n, int d){ if(n == 0){ return; } hanoi(n - 1, -d); shift(n, d); hanoi(n - 1, -d); }

static void hannoi(int n, int d){
if(n == 0){
return;
}
hanoi(n - 1, -d);
shift(n, d);
hanoi(n - 1, -d);
}

例3：用分治法画刻尺

Java代码



static void rule(int l, int r, int h){ int m = (l + r)/2; if(h > 0){ rule(l, m, h - 1); mark(m, h); rule(m, r, h - 1); } }

static void rule(int l, int r, int h){
int m = (l + r)/2;
if(h > 0){
rule(l, m, h - 1);
mark(m, h);
rule(m, r, h - 1);
}
}

对于任意给定的i，有更简单的方法来计算第i个标记长度：即i的二进制尾数0的个数。

Java代码



0 0 0 0 1
0 0 0 1 0 1
0 0 0 1 1
0 0 1 0 0 2
0 0 1 0 1

0 0 1 1 0 1
0 0 1 1 1

0 1 0 0 0 3
0 1 0 0 1
0 1 0 1 0 1
0 1 0 1 1

0 1 1 0 0 2
0 1 1 0 1

0 1 1 1 0 1
0 1 1 1 1
1 0 0 0 0 4
1 0 0 0 1
1 0 0 1 0 1
...

0 0 0 0 1
0 0 0 1 0  1
0 0 0 1 1
0 0 1 0 0  2
0 0 1 0 1
0 0 1 1 0  1
0 0 1 1 1
0 1 0 0 0  3
0 1 0 0 1
0 1 0 1 0  1
0 1 0 1 1
0 1 1 0 0  2
0 1 1 0 1
0 1 1 1 0  1
0 1 1 1 1
1 0 0 0 0  4
1 0 0 0 1
1 0 0 1 0  1
...

例4：画刻尺的非递归程序

Java代码



static void rule(int l, int r, int h){
for(int t = 1, j = 1; t <= h; j += j, t++){

for(int i = 0; l +j + i <= r; i += j + j){
mark(l + j + i, t);
}
}
}

static void rule(int l, int r, int h){
for(int t = 1, j = 1; t <= h; j += j, t++){
for(int i = 0; l +j + i <= r; i += j + j){
mark(l + j + i, t);
}
}
}

一般来说，许多递归程序取决于解决子问题的特定顺序，但对于另一些算法（用分治法找最大值），则与解决子问题的顺序无关。对于这样的算法，唯一的限制条件是我们再解决主问题之前必须先解决子问题。什么时候可以重排计算是很重要的。在考虑并行处理器上实现算法时，这个问题就更重要了。自底向上的方法与一般算法设计的思路是一样的，即总先解决那些容易处理的子问题，然后把这些解结合起来，从而解决稍大的子问题，直到整个问题得于解决，这种方法就是分治法。

快速排序和折半查找是基本的分治法思想的变体，即把问题分成大小为k-1和N-k的子问题，k值由输入决定。