R语言系列：常见离散分布及相关函数

二项分布

一次试验有成功和失败两个独立结果，其发生概率分别为p和1-p。则n次试验后成功发生的次数符合伯努利分布。

f(x) = choose(n,x) * p^x * (1-p)^(n-x)

E(X)=np; Var(x)=np(1-p)

产生随机样本：

rbinom(n, size, prob)

#抛10次硬币为一次实验，做1000次实验。则n=1000，size=10。

#prob为成功的概率

#size=1即为伯努利试验

密度函数：

dbinom(x, size, prob)：x发生的概率

pbinom(q, size, prob)：≤q的事件累积概率

qbinom(p, size, prob)：累积概率p对应的q

#x、q为实验结果；p为累积概率。

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多项分布

一次试验有k个独立结果，其发生概率分别为p1、p2...。则n次试验后各结果发生的次数符合多项分布。

产生随机样本：

rmultinom(n, size, prob)

#抛10次骰子为一次实验，做1000次实验。则n=1000，size=10。

#prob为每个独立结果出现的概率，其总和为1。

#结果为k×n的矩阵，k即length(prob)

密度函数：

dmultinom(x, size, prob)

#x和prob是两个长度相等的向量。

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负二项分布

伯努利试验重复进行，成功的概率为p，直到出现r次成功。则试验失败的次数符合负二项分布。

f(x)=choose(x+r-1, r-1) * p^r * (1-p)^x

E(X)=r(1-p)/p; Var(x)= r(1-p)/(p^2)

产生随机样本：

rnbinom(n, size, prob)

#连续抛硬币，出现5次正面为一次实验，做1000次实验。则n=1000，size=5。

#prob为成功的概率

#r=1即为几何分布

密度函数：

dnbinom(x, size, prob)

pnbinom(q, size, prob)

qnbinom(p, size, prob)

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超几何分布

从装有n个白球和m个黑球的罐子里，取k个球，其中白球的个数符合超几何分布。

f(x) = choose(n, x) choose(m, k-x) / choose(m+n, k)

E(x)=k*n/(m+n)

Var(x)=(k*n/(m+n)) * (n+m-k)/(n+m-1)) * (1-n/(n+m))

#前几个分布都是在试验之间相互独立的基础上得来的，而超几何分布中，前一次试验会对后一次试验产生影响。

#当n+m→∞，则超几何分布近似于二项分布。

产生随机样本：

rhyper(nn, m, n, k)

#nn为实验次数，m为白球个数，n为黑球个数，k为每次实验取出小球个数。

密度函数：

dhyper(x, m, n, k)

phyper(q, m, n, k)

qhyper(p, m, n, k)

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泊松分布：

单位量度内某一事件的发生次数。

p(x) = λ^x * exp(-λ)/x!

E(x)=Var(x)=λ

产生随机样本：

rpois(n, λ)

密度函数：

dpois(x, λ)

ppois(q, λ)

qpois(p, λ)