插值方法-拉格朗日多项式

定义：f(x)为定义在区间[a,b]上的函数，x0,x1,...,xn为[a,b]上n+1个互不相同的点，Φ为给定的某一函数类。若Φ上有函数ψ(x)满足：

ψ(xi)=f(xi),i=0,1,...,n

则称ψ(x)为f(x)关于节点x0,x1,...,xn在Φ上的插值函数。

x0,x1,...,xn为插值节点，{xi,f(xi)}为插值型值点（插值点），f(x)为插值函数

可以对插值函数选择不同的函数类型

1、拉格朗日插值：选择多项式为插值函数

n次拉格朗日插值多项式如下

用多项式

表示关于插值点

的插值多项式，则得到



最终拉格朗日插值多项式为 


其中



称

为关于节点

的拉格朗日基函数

表示拉格朗日插值多项式的算法描述如下

输入(xi,yi),i=0,1,...,n
double fx=0;
for(i=0;i<=n;i++) {
temp=1;
for(j=0;j<=n && j!+i;j++)
temp=temp*((x-xj)/(xi-xj));
fx=fx+temp*yi;
}

优点：格式整齐规范

缺点：1、计算量大

            2、没有承袭性，当加入插值节点时不得不重新计算