今天又发现一个关于完美洗牌的算法。这个比较简单一些,由 microsoft的Peiyush Jain提出。
原论文: A Simple In-Place Algorithm for In-Shuffle.
Peiyush Jain, Microsoft Corporation.
July 2004
问题描述:
所谓完美洗牌算法即是把输入为:
a_1,a_2........a_n,b_1,b_2.........b_n的序列变为
b_1,a_1,b_2,a_2.......b_n,a_n 这是in perfect shufle。相对应的还有out perfect shuffle。两者区别在于首尾元素位置变或不变。
perfect shuffle算法要求在O(n),时间内,O(1)空间内完成。
perfect shuffle实质是一个置换。置换为:
i -> 2*i mod (2*n+1)
由于置换可以分解为一系列不相交的轮换之积。故如果能找出所有轮换的一个代表元则可很容易解决问题。
如
n=3时 输入 1 2 3 A B C b => A 1 B 2 C 3所对应的轮换为(1,2,4)(3,6,5)
选代表元为1和3以及一个临时变量T:
2->T,1->2
1 2 3 A B C -----------> _ 1 3 A B C
4->1,T->4
_ 1 3 A B C -----------> A 1 3 2 B C
6->T,3->6
A 1 3 2 B C -----------> A 1 _ 2 B 3
5->3,T->5
A 1 _ 2 B 3 -----------> A 1 B 2 C 3 置换完成
因此问题就转换为求置换的轮换分解中的代表元问题了。
文中巧妙的利用特定条件下每个不相交的轮换可有3的不同幂次生成。
见论文:A Simple In-Place Algorithm for In-Shuffle.
Peiyush Jain, Microsoft Corporation.
1、问题描述:
所谓完美洗牌算法即是把输入为:
a_1,a_2........a_n,b_1,b_2.........b_n的序列变为
b_1,a_1,b_2,a_2.......b_n,a_n 这是in perfect shufle。
perfect shuffle算法要求在O(n),时间内,O(1)空间内完成。
perfect shuffle实质是一个置换。置换为:
i -> 2*i mod (2*n+1)
由于置换可以分解为一系列不相交的轮换之积。故如果能找出所有轮换的一个代表元则可很容易解决问题。
如 len=3时 输入 1 2 3 A B C b => A 1 B 2 C 3所对应的轮换为(1,2,4)(3,6,5)
选代表元为1和3以及一个临时变量T:
1 2 3 A B C -----------> 2->T,1->2
_ 1 3 A B C -----------> 4->1,T->4
A 1 3 2 B C -----------> 6->T,3->6
A 1 _ 2 B 3 -----------> 5->3,T->5
A 1 B 2 C 3 置换完成
因此问题就转换为求置换的轮换分解中的代表元问题了。
文中巧妙的利用特定条件下:
即(2的任意次幂)对(3的k次幂)取模,能得到一个轮换环,并且环与环之间刚好互不相交 。
如我们分析长度2*n=3^k-1的置换的轮换分解。 (若长度为2*4=8,则8=3^2-1)
考虑某一包含3^s( 1 =< s < k )的轮换。不妨记3^s为a_1,3^k记为m。
则轮换里的数分别为:
a_2 = 2* a_1 mod m
a_3 = 2* a_2 mod m;
a_4 = 2* a_3 mod m;
。。。。。 。。。
a_len = 2* a_len-1 mod m
a_1 = 2* a_len mod m
则 a_1 ≡2^len * a_1 mod m; ( 最后一项中的a_len用倒数第二行乘2替代,以此类推........) ,
依此,假设m=9,可以确定每个轮换中,len的值,
如a_1=3^s=3^0=1,则1=2^len * 1 mod m,则 len=2;
如a_1=3^s=3^1=3,则3=2^len * 3 mod m,则 len=6
因此每个3^s开始的一个轮换满足 :
3^s ≡3^s * 2^len mod 3^k ,且轮换的长度为len。
补充:若对1 2 3 4 5 6 7 8 9 10进行洗牌则首先交换成
1 2 3 4 6 7 8 9 5 10 (n=4,因此我们只对需要的前8个先调整到前面)
下面举了个例子:洗牌置换过程例证,它例举了将1234ABCD置换成A1B2C3D4的过程,请将图中的n理解为len,k=2。
因此很容易得出各轮换的代表元就为3^0,3^1,3^2......3^i(i<k,i+1>k).
对于2*n不等于3^k-1的情况,可以巧妙的利用这个结论完成ferfect shuffle。
对于2*n不等于3^k-1时,先找一个最接近2*n且比2*n小的2*m=3^k-1。进行如下变换。
把序列中m+1到n+m的子序列循环右移m位。
A_1,A_2,A_3.......A_m-1,A_m,A_m+1......A_n,A_n+1,A_n+2,.......A_n+m,A_n+m+1.....A_2*n ->
A_1,A_2,A_3.......A_m-1,A_n+1,A_n+2.....A_n+m,A_m,A_m+1......A_n+m+1................A_2*n
然后对前2*m子序列进行上面的perfect shuffle。然后对剩下的部分进行同样处理。
例如对于长为14的序列进行perfect shuffle置换:
输入序列为:
1 2 3 4 5 6 7 A B C D E F G
14=2*7≠3^k.与14最接近的3^k-1是8=3^2 - 1.因此先对4+1到7+4的子序列循环右移4位得:
1 2 3 4 A B C D 5 6 7 E F G
对前8位进行perfect shuffle移位后得:
A 1 B 2 C 3 D 4 5 6 7 E F G
剩下的子序列为
5 6 7 E F G
长度为6 最接近的2*m1=3^k1-1是 m=1
因此对 1+1 到3+1进行循环右移1位得
5 E 6 7 F G
进行2*m的perfect shuffle后得整个序列为:
A 1 B 2 C 3 D 4 E 5 6 7 F G
剩下的未处理的子序列为:
6 7 F G
同样的循环移位后为:
6 F 7 G
进行m=1的perfect shuffle得整个序列为:
A 1 B 2 C 3 D 4 E 5 F 6 7 G
剩下未处理的子序列为
7 G
长为2的轮换即交换,最后得整个序列为:
A 1 B 2 C 3 D 4 E 5 F 6 G 7
完成perfect shuffle。
移位是线性时间,3^k - 1的perfect shuffle置换也是线性时间,最后的递归是对剩下的子序列进行同样的操作,因此整个过程在线性时间内完成。而且需要的辅助空间为常数-个额外临时变量。
实现代码:
#include "stdio.h"
//轮换
void Cycle(int Data[],int Lenth,int Start)
{
int Cur_index,Temp1,Temp2;
Cur_index=(Start*2)%(Lenth+1);
Temp1=Data[Cur_index-1];
Data[Cur_index-1]=Data[Start-1];
while(Cur_index!=Start)
{
Temp2=Data[(Cur_index*2)%(Lenth+1)-1];
Data[(Cur_index*2)%(Lenth+1)-1]=Temp1;
Temp1=Temp2;
Cur_index=(Cur_index*2)%(Lenth+1);
}
}
//数组循环移位 参考编程珠玑
void Reverse(int Data[],int Len)
{
int i,Temp;
for(i=0;i<Len/2;i++)
{
Temp=Data[i];
Data[i]=Data[Len-i-1];
Data[Len-i-1]=Temp;
}
}
void ShiftN(int Data[],int Len,int N)
{
Reverse(Data,Len-N);
Reverse(&Data[Len-N],N);
Reverse(Data,Len);
}
//满足Lenth=3^k-1的perfect shfulle的实现
void Perfect1(int Data[],int Lenth)
{
int i=1;
if(Lenth==2)
{
i=Data[Lenth-1];
Data[Lenth-1]=Data[Lenth-2];
Data[Lenth-2]=i;
return;
}
while(i<Lenth)
{
Cycle(Data,Lenth,i);
i=i*3;
}
}
//查找最接近N的3^k
int LookUp(int N)
{
int i=3;
while(i<=N+1) i*=3;
if(i>3) i=i/3;
return i;
}
void perfect(int Data[],int Lenth)
{
int i,startPos=0;
while(startPos<Lenth)
{
i=LookUp(Lenth-startPos);
ShiftN(&Data[startPos+(i-1)/2],(Lenth-startPos)/2,(i-1)/2);
Perfect1(&Data[startPos],i-1);
startPos+=(i-1);
}
}
#define N 100
void main()
{
int data
={0};
int i=0;
int n;
printf("please input the number of data you wanna to test(should less than 100):/n");
scanf("%d",&n);
if(n&1)
{
printf("sorry,the number should be even ");
return;
}
for(i=0;i<n;i++)
data[i]=i+1;
perfect(data,n);
for(i=0;i<n;i++)
printf("%d ",data[i]);
}
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